(Chuyên Vinh – 2022) Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \((P):2x – y + 2z + 16 = 0\) và mặt cầu \((S):{(x – 2)^2} + {(y + 1)^2} + {(z – 3)^2} = 21\). Một khối hộp chữ nhật \((H)\) có bốn đỉnh nằm trên mặt phẳng \((P)\) và bốn đỉnh còn lại nằm trên mặt cầu \((S)\). Khi \((H)\) có thể tích lớn nhất, thì mặt phẳng chứa bốn đỉnh của \((H)\) nằm trên mặt cầu \((S)\) là \((Q):2x + by + cz + d = 0\). Giá trị \(b + c + d\) bằng
A. \( – 15\).
B. \( – 13\).
C. \( – 14\).
D. \( – 7\).
Lời giải:
Chọn B
Đầu tiên, ta có mặt cầu \((S)\) tâm \(I(2; – 1;3)\), bán kính \(R = \sqrt {21} \)
Tiếp đến ta nhận thấy: \(d(I;(P)) = 9 > \sqrt {21} \) nên suy ra mặt phẳng \((P)\) không cắt mặt cầu \((S)\). Gọi \(a,b\) là các kích thước mặt đáy hình hộp chữ nhật và \(d = d(I;(Q))\). Khi đó ta có:
Ta có: \(V = (d(I;(P)) + d(I;(Q)))ab = (9 + d)ab \le (9 + d){\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} = (9 + d)\left( {21 – {d^2}} \right) = f(d)\)
Xét hàm số \(y = f(d) = (9 + d)\left( {21 – {d^2}} \right)\) trên \((0; + \infty )\) có \(f\prime (d) = 0 \Leftrightarrow d = 1 \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{{\mathbb{R}^ + }} f(d) = f(1)\)
Suy ra thể tích khối hộp đạt max khi và chỉ khi
Suy ra: \((Q):2x – y + 2z + d = 0;d(I;(Q)) = \frac{{|11 + d|}}{3} = 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{d = – 8}\\{d = – 14}\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {{Q_1}} \right):2x – y + 2z – 8 = 0}\\{\left( {{Q_2}} \right):2x – y + 2z – 14 = 0}\end{array}} \right.} \right.\)
Xét điểm \(N(0;0; – 8)\) bất kì thuộc mặt phẳng \((P)\) ta nhận ra để thể tích max thì chiều cao hộp phải max tức hai điểm \(I\) và \(N\) phải nằm cùng phía với mặt phẳng \((Q)\)
Như vậy ta nhận mặt phẳng \(\left( {{Q_2}} \right):2x – y + 2z – 14 = 0\) do \(\left( {2{x_I} – {y_I} + 2{z_I} – 14} \right)\left( {2{x_N} – {y_N} + 2{z_N} – 14} \right) > 0\) Với \((Q):2x + by + cz + d = 0\), ta đồng nhất hệ số ra \(b + c + d = – 13\).
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Hình học OXYZ – VDC
Trả lời