(THPT Phù Cừ – Hưng Yên – 2022) Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 1}\\{z = t}\end{array}} \right.\) và mặt phẳng \((P):2x – z + 3 = 0\). Biết đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(O(0;0;0)\) gốc toạ độ, có 1 vectơ chỉ phương \(\vec u = (1;a;b)\), vuông góc với đường thẳng \(d\) và hợp với mặt phẳng \((P)\) một góc lớn nhất. Hỏi điểm nào sau đây thuộc đường thẳng \(\Delta \) ?

Câu hỏi:

A. \(P(0;1;0)\).

B. \(M(2;0; – 2)\).

C. \(N( – 1;1;1)\).

D. \(Q(1;2;2)\).

Lời giải:

Ta có đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \(\vec u = (1;a;b)\).

Mà đường thẳng \(d\) có phương trình \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 1}\\{z = t}\end{array}} \right.\) nên suy ra một vectơ chỉ phương của \(d\) là \(\vec v = (1;0;1)\).

Ta lại có \(\Delta \bot d \Rightarrow \vec u \bot \vec v \Rightarrow \vec u \cdot v = 0 \Rightarrow 1 + b = 0 \Rightarrow b = – 1\). Suy ra \(\vec u = (1;a; – 1)\).

Mặt khác, mặt phẳng \((P)\) có phương trình \((P):2x – z + 3 = 0\) nên có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (2;0; – 1)\).

Giải sử \(\Delta \) hợp với mặt phẳng \((P)\) một góc \(\varphi = (\Delta ,(P))\) thì

\(\sin \varphi = |\cos (\vec u,\vec n)| = \frac{{|\vec u,\vec n|}}{{|\vec u| \cdot |\vec n|}} = \frac{{|3|}}{{\sqrt 5 \cdot \sqrt {2 + {a^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {5\left( {2 + {a^2}} \right)} }}.\)\(\)

Mà \(\sqrt {2 + {a^2}} \ge \sqrt 2 \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt {2 + {a^2}} }} \le \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \sin \varphi = \frac{3}{{\sqrt {5\left( {2 + {a^2}} \right)} }} \le \frac{3}{{\sqrt {10} }}\) khi \(a = 0\).

Vì \(\varphi \) lớn nhất khi \(\sin \varphi \) lớn nhất do đó \({\varphi _{\max }}\) khi \(a = 0\).

Suy ra \(\vec u = (1;0; – 1)\). Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta \) là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = s}\\{y = 0}\\{z = – s}\end{array}} \right.\). Suy ra điểm \(M(2;0; – 2)\) thuộc đường thẳng \(\Delta \).

====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Hình học OXYZ – VDC