(THPT Phù Cừ – Hưng Yên – 2022) Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S)\) tâm \(I(2; – 1;3)\) bán kính \(R = 4\) và mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 4x – 6z – 2 = 0\). Biết mặt phẳng \((P)\) là giao của hai mặt cầu \((S)\) và \(\left( {{S_1}} \right)\). Gọi \(M,N\) là hai điểm thay đổi thuộc mặt phẳng \((P)\) sao cho \(MN = \sqrt 2 \). Giá trị nhỏ nhất của \(AM + BN\) bằng \(\sqrt {a – b\sqrt 2 } \), với \(a,b \in \mathbb{R}\) và \(A(0;5;0),B(3; – 2; – 4)\). Tính giá trị gần đúng của \(\frac{b}{a}\) (làm tròn đến hàng phần trăm).

A. 0,05.

B. 0,07.

C. 0,11.

D. 0,13.

Lời giải:

Ta có \((S):{(x – 2)^2} + {(y + 1)^2} + {(z – 3)^2} = 16 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} – 4x + 2y – 6z – 2 = 0\).

\({\mathop{\rm Vi}\nolimits} (P) = (S) \cap \left( {{S_1}} \right) \Rightarrow (P):y = 0 \Rightarrow (P) \equiv (Ozx)\).

Ta có \(O(0;0;0),C(3;0; – 4)\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A(0;5;0),B(3; – 2; – 4)\) xuống mặt phẳng \((P)\).

Mà \(OA = 5;OC = 5;BC = 2\).

Do đó

\(AM + BN = \sqrt {O{A^2} + O{M^2}} + \sqrt {B{C^2} + C{N^2}} \ge \sqrt {{{(OA + BC)}^2} + {{(OM + CN)}^2}} = \sqrt {49 + {{(OM + CN)}^2}} \)\(\)

Lại có \(OM + MN + NC \ge OC \Rightarrow OM + NC \ge OC – MN = 5 – \sqrt 2 \)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(O,M,N,C\) thẳng hàng.

Vậy \(AM + BN \ge \sqrt {49 + {{(OM + CN)}^2}} \ge \sqrt {49 + {{(5 – \sqrt 2 )}^2}} = \sqrt {76 – 10\sqrt 2 } \).

Suy ra \(a = 76;b = 10 \Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{{10}}{{76}} \approx 0,13\).