📌 Đề bài:
Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số bậc ba $y = -x^3 + 3x^2 + 9x – 2$.
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để xét tính đơn điệu của một hàm số $y = f(x)$, ta thực hiện theo các bước sau:
- Tìm tập xác định của hàm số $D$.
- Tính đạo hàm $y’ = f'(x)$ và tìm các điểm $x_i \in D$ làm cho $y’ = 0$ hoặc $y’$ không xác định.
- Lập bảng xét dấu đạo hàm (hoặc bảng biến thiên).
- Kết luận dựa trên định lý về dấu của đạo hàm:
- Nếu $y’ > 0$ trên khoảng $(a; b)$ thì hàm số đồng biến (tăng) trên khoảng $(a; b)$.
- Nếu $y’ < 0$ trên khoảng $(a; b)$ thì hàm số nghịch biến (giảm) trên khoảng $(a; b)$.
Tương tự như khi xét tính đơn điệu của hàm phân thức hữu tỉ hay khảo sát khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số chứa căn thức, việc xác định chính xác dấu của tam thức bậc hai $y’$ là khâu quyết định để đưa ra kết luận chính xác.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Tìm tập xác định
Hàm số đã cho là hàm đa thức, do đó tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
Bước 2: Tính đạo hàm và tìm nghiệm của phương trình đạo hàm
Ta có đạo hàm:
$$y’ = (-x^3 + 3x^2 + 9x – 2)’ = -3x^2 + 6x + 9$$
Cho $y’ = 0 \Leftrightarrow -3x^2 + 6x + 9 = 0 \Leftrightarrow -3(x^2 – 2x – 3) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x = -1 \\ &x = 3 \end{aligned}\right.$$
Bước 3: Lập bảng xét dấu đạo hàm
Biểu thức $y’ = -3x^2 + 6x + 9$ là tam thức bậc hai có hệ số $a = -3 < 0$ và hai nghiệm phân biệt $x_1 = -1, x_2 = 3$.
Áp dụng quy tắc xét dấu tam thức bậc hai “trong trái, ngoài cùng”:
- Với $x \in (-1; 3)$: $y’ > 0$ (trái dấu với $a$).
- Với $x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$: $y’ < 0$ (cùng dấu với $a$).
Bảng biến thiên:
| $x$ | $-\infty$ | $-1$ | $3$ | +$+\infty$ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y’$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ |
Bước 4: Kết luận
– Hàm số đồng biến trên khoảng $(-1; 3)$.
– Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty; -1)$ và $(3; +\infty)$.
👉 Kết luận: Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(-1; 3)$, nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(3; +\infty)$.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $y = x^3 – 3x^2 – 9x + 5$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
• Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
• Đạo hàm: $y’ = 3x^2 – 6x – 9$.
• Cho $y’ = 0 \Leftrightarrow 3(x^2 – 2x – 3) = 0 \Leftrightarrow x = -1$ hoặc $x = 3$.
• Xét dấu $y’$: $y’ > 0$ khi $x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$; $y’ < 0$ khi $x \in (-1; 3)$.
Đáp số: Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(3; +\infty)$; nghịch biến trên khoảng $(-1; 3)$.
Bài tập 2: Xét tính đơn điệu của hàm số trùng phương $y = -x^4 + 2x^2 + 3$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
• Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
• Đạo hàm: $y’ = -4x^3 + 4x = -4x(x^2 – 1)$.
• Cho $y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = \pm 1$.
• Xét dấu $y’$: $y’ > 0$ khi $x \in (-\infty; -1) \cup (0; 1)$; $y’ < 0$ khi $x \in (-1; 0) \cup (1; +\infty)$.
Đáp số: Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(0; 1)$; nghịch biến trên các khoảng $(-1; 0)$ và $(1; +\infty)$.
Bài tập 3: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số $y = \frac{2x – 3}{x + 1}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
• Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$.
• Đạo hàm: $y’ = \frac{2(1) – (-3)(1)}{(x+1)^2} = \frac{5}{(x+1)^2}$.
• Vì $(x+1)^2 > 0$ với mọi $x \ne -1$ nên $y’ > 0$ với mọi $x \in D$.
Đáp số: Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định $(-\infty; -1)$ và $(-1; +\infty)$.
Bài tập 4: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số $y = \frac{x^2 – 4x + 5}{x – 2}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
• Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$.
• Ta có: $y = x – 2 + \frac{1}{x – 2} \implies y’ = 1 – \frac{1}{(x-2)^2} = \frac{(x-2)^2 – 1}{(x-2)^2} = \frac{x^2 – 4x + 3}{(x-2)^2}$.
• Cho $y’ = 0 \Leftrightarrow x^2 – 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 3$.
• Xét dấu $y’$: $y’ > 0$ khi $x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$; $y’ < 0$ khi $x \in (1; 2) \cup (2; 3)$.
Đáp số: Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; 1)$ và $(3; +\infty)$; nghịch biến trên các khoảng $(1; 2)$ và $(2; 3)$. (Bạn có thể tham khảo thêm kỹ thuật giải khảo sát tính đơn điệu của hàm phân thức bậc 2 trên bậc 1).
Bài tập 5: Xét tính đơn điệu của hàm số chứa căn $y = \sqrt{6x – x^2}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
• Điều kiện xác định: $6x – x^2 \ge 0 \Leftrightarrow 0 \le x \le 6$. TXĐ: $D = [0; 6]$.
• Với $x \in (0; 6)$, ta có $y’ = \frac{(6x – x^2)’}{2\sqrt{6x – x^2}} = \frac{6 – 2x}{2\sqrt{6x – x^2}} = \frac{3 – x}{\sqrt{6x – x^2}}$.
• Cho $y’ = 0 \Leftrightarrow 3 – x = 0 \Leftrightarrow x = 3 \in (0; 6)$.
• Xét dấu $y’$: $y’ > 0$ khi $x \in (0; 3)$; $y’ < 0$ khi $x \in (3; 6)$.
Đáp số: Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; 3)$ và nghịch biến trên khoảng $(3; 6)$.
Để lại phản hồi