📌 Đề bài:
Xét tính đơn điệu (tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến) của hàm số: $$y = \frac{x^2 – 3x + 6}{x – 1}$$
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để xét tính đơn điệu của một hàm số $y = f(x)$, ta thực hiện các bước chuẩn hóa sau:
- Tìm tập xác định của hàm số: $D$.
- Tính đạo hàm $y’ = f'(x)$ bằng quy tắc đạo hàm của thương $\left(\frac{u}{v}\right)’ = \frac{u’v – uv’}{v^2}$.
- Tìm các điểm tới hạn: Giải phương trình $y’ = 0$ và tìm các điểm mà tại đó $y’$ không xác định (thuộc $D$).
- Lập bảng biến thiên hoặc xét dấu của đạo hàm $y’$:
- Hàm số đồng biến trên khoảng $(a; b)$ nếu $y’ > 0$ với mọi $x \in (a; b)$.
- Hàm số nghịch biến trên khoảng $(a; b)$ nếu $y’ < 0$ với mọi $x \in (a; b)$.
- Kết luận cụ thể về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Việc nắm vững cách lập bảng biến thiên cũng hỗ trợ đắc lực khi giải quyết các bài toán thực tế tương tự như bài toán cực trị hình học ứng dụng hoặc khảo sát dao động mô hình hóa trong đề thi.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Tìm tập xác định
Hàm số xác định khi và chỉ khi mẫu số khác 0: $x – 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1$.
Vậy tập xác định của hàm số là: $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.
Bước 2: Tính đạo hàm
Áp dụng công thức đạo hàm hàm phân thức $\left(\frac{u}{v}\right)’ = \frac{u’v – uv’}{v^2}$:
$$y’ = \frac{(x^2 – 3x + 6)'(x – 1) – (x^2 – 3x + 6)(x – 1)’}{(x – 1)^2}$$$$y’ = \frac{(2x – 3)(x – 1) – (x^2 – 3x + 6)\cdot 1}{(x – 1)^2}$$$$y’ = \frac{2x^2 – 2x – 3x + 3 – x^2 + 3x – 6}{(x – 1)^2} = \frac{x^2 – 2x – 3}{(x – 1)^2}$$
Bước 3: Giải phương trình đạo hàm bằng 0
Cho $y’ = 0 \Leftrightarrow x^2 – 2x – 3 = 0 \Leftrightarrow (x + 1)(x – 3) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x &= -1 \in D \\ x &= 3 \in D \end{aligned}\right.$
Bước 4: Xét dấu đạo hàm
Do mẫu số $(x – 1)^2 > 0$ với mọi $x \ne 1$, nên dấu của $y’$ hoàn toàn phụ thuộc vào dấu của tam thức bậc hai $g(x) = x^2 – 2x – 3$ trên tử số:
- $y’ > 0 \Leftrightarrow x^2 – 2x – 3 > 0 \Leftrightarrow x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.
- $y’ < 0 \Leftrightarrow x^2 - 2x - 3 < 0$ và $x \ne 1 \Leftrightarrow x \in (-1; 1) \cup (1; 3)$.
Bảng xét dấu $y’$:
| $x$ | $-\infty$ | $-1$ | $1$ | $3$ | $+\infty$ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y’$ | $+$ | $0$ | $-$ | || | $-$ | $0$ | $+$ |
👉 Kết luận:
- Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(3; +\infty)$.
- Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-1; 1)$ và $(1; 3)$.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $y = x^3 – 3x^2 – 9x + 2$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
• TXĐ: $D = \mathbb{R}$.
• Đạo hàm: $y’ = 3x^2 – 6x – 9 = 3(x^2 – 2x – 3)$.
• $y’ = 0 \Leftrightarrow x = -1$ hoặc $x = 3$.
• Dấu của $y’$: $y’ > 0$ khi $x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$; $y’ < 0$ khi $x \in (-1; 3)$.
Đáp án: Hàm số đồng biến trên $(-\infty; -1)$ và $(3; +\infty)$; nghịch biến trên $(-1; 3)$.
Bài tập 2: Xét tính đơn điệu của hàm số $y = -x^4 + 2x^2 + 5$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
• TXĐ: $D = \mathbb{R}$.
• Đạo hàm: $y’ = -4x^3 + 4x = -4x(x^2 – 1)$.
• $y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0, x = 1, x = -1$.
• Xét dấu $y’$: $y’ > 0$ khi $x \in (-\infty; -1) \cup (0; 1)$; $y’ < 0$ khi $x \in (-1; 0) \cup (1; +\infty)$.
Đáp án: Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(0; 1)$; nghịch biến trên các khoảng $(-1; 0)$ và $(1; +\infty)$.
Bài tập 3: Xét tính đơn điệu của hàm số $y = \frac{2x + 1}{x – 3}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
• TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \{3\}$.
• Đạo hàm: $y’ = \frac{2\cdot(-3) – 1\cdot 1}{(x – 3)^2} = \frac{-7}{(x – 3)^2} < 0, \forall x \ne 3$.
Đáp án: Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định $(-\infty; 3)$ và $(3; +\infty)$.
Bài tập 4: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số $y = \frac{x^2 + 3x + 3}{x + 2}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
• TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \{-2\}$.
• $y’ = \frac{(2x + 3)(x + 2) – (x^2 + 3x + 3)}{(x + 2)^2} = \frac{x^2 + 4x + 3}{(x + 2)^2}$.
• $y’ = 0 \Leftrightarrow x^2 + 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = -3$ hoặc $x = -1$.
• $y’ > 0 \Leftrightarrow x \in (-\infty; -3) \cup (-1; +\infty)$; $y’ < 0 \Leftrightarrow x \in (-3; -2) \cup (-2; -1)$.
Đáp án: Hàm số đồng biến trên $(-\infty; -3)$ và $(-1; +\infty)$; nghịch biến trên $(-3; -2)$ và $(-2; -1)$.
Bài tập 5: Xét tính đơn điệu của hàm số $y = \sqrt{2x – x^2}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
• Điều kiện: $2x – x^2 \ge 0 \Leftrightarrow x \in [0; 2]$. TXĐ: $D = [0; 2]$.
• Với $x \in (0; 2)$: $y’ = \frac{(2x – x^2)’}{2\sqrt{2x – x^2}} = \frac{2 – 2x}{2\sqrt{2x – x^2}} = \frac{1 – x}{\sqrt{2x – x^2}}$.
• $y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1$.
• $y’ > 0$ khi $x \in (0; 1)$; $y’ < 0$ khi $x \in (1; 2)$.
Đáp án: Hàm số đồng biến trên $[0; 1]$ và nghịch biến trên $[1; 2]$.
Để lại phản hồi