📌 Đề bài:
Xét tính đơn điệu (tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến) của hàm số bậc bốn trùng phương: $$y = x^4 – 2x^2 – 3$$
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để xét tính đơn điệu của hàm số $y = f(x)$, ta thực hiện theo các bước chuẩn sau:
- Bước 1: Tìm tập xác định $D$ của hàm số.
- Bước 2: Tính đạo hàm $y’ = f'(x)$. Tìm các điểm $x_i in D$ mà tại đó đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.
- Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc xét dấu của đạo hàm $y’$ trên các khoảng xác định.
- Bước 4: Kết luận:
- Hàm số đồng biến trên khoảng $(a; b)$ nếu $f'(x) > 0, orall x in (a; b)$.
- Hàm số nghịch biến trên khoảng $(a; b)$ nếu $f'(x) < 0, orall x in (a; b)$.
Tương tự như khi xét tính đơn điệu của hàm số bậc ba hay tính đơn điệu của hàm phân thức hữu tỉ, việc xác định chính xác nghiệm và quy tắc đan dấu của đạo hàm là mấu chốt quan trọng.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Tập xác định
Hàm số đã cho là hàm đa thức, do đó tập xác định: $$D = \mathbb{R}$$
Bước 2: Tính đạo hàm và giải phương trình đạo hàm bằng 0
Đạo hàm của hàm số là:
$$y’ = (x^4 – 2x^2 – 3)’ = 4x^3 – 4x$$
Đặt $y’ = 0$, ta có:
$$4x^3 – 4x = 0 \Leftrightarrow 4x(x^2 – 1) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x = 0 \\ &x = 1 \\ &x = -1 \end{aligned}\right.$$
Bước 3: Bảng xét dấu của đạo hàm $y’$
Đạo hàm $y’ = 4x(x – 1)(x + 1)$ có hệ số của $x^3$ là $4 > 0$. Ta áp dụng quy tắc xét dấu đa thức (khoảng ngoài cùng bên phải cùng dấu với hệ số bậc cao nhất, qua các nghiệm đơn đổi dấu):
| $x$ | $-\infty$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $+\infty$ | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y’$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
Bước 4: Kết luận
- Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-1; 0)$ và $(1; +\infty)$.
- Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(0; 1)$.
👉 Kết luận: Hàm số đồng biến trên $(-1; 0)$ và $(1; +\infty)$; nghịch biến trên $(-\infty; -1)$ và $(0; 1)$.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số $y = -x^4 + 4x^2 – 3$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
• TXĐ: $D = \mathbb{R}$.
• Đạo hàm: $y’ = -4x^3 + 8x = -4x(x^2 – 2)$.
• $y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = \pm \sqrt{2}$.
• Xét dấu $y’$: $y’ > 0$ khi $x \tin (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (0; \sqrt{2})$ và $y’ < 0$ khi $x \tin (-\sqrt{2}; 0) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$.
Đáp số: Hàm số đồng biến trên $(-\infty; -\sqrt{2})$ và $(0; \sqrt{2})$; nghịch biến trên $(-\sqrt{2}; 0)$ và $(\sqrt{2}; +\infty)$.
Bài tập 2: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số $y = \frac{1}{4}x^4 – 2x^2 + 1$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
• TXĐ: $D = \mathbb{R}$.
• Đạo hàm: $y’ = x^3 – 4x = x(x^2 – 4)$.
• $y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = \pm 2$.
• Bảng xét dấu cho thấy $y’ > 0$ trên $(-2; 0)$ và $(2; +\infty)$; $y’ < 0$ trên $(-\infty; -2)$ và $(0; 2)$.
Đáp số: Hàm số đồng biến trên $(-2; 0)$ và $(2; +\infty)$; nghịch biến trên $(-\infty; -2)$ và $(0; 2)$.
Bài tập 3: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $y = x^4 + 4x^2 + 5$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
• TXĐ: $D = \mathbb{R}$.
• Đạo hàm: $y’ = 4x^3 + 8x = 4x(x^2 + 2)$. Vì $x^2 + 2 > 0, \forall x$ nên dấu của $y’$ cùng dấu với $x$.
• $y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0$. Ta có $y’ > 0 \Leftrightarrow x > 0$ và $y’ < 0 \Leftrightarrow x < 0$.
Đáp số: Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; 0)$ và đồng biến trên $(0; +\infty)$.
Bài tập 4: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số $y = x^3 – 3x^2 + 2$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
• TXĐ: $D = \mathbb{R}$.
• Đạo hàm: $y’ = 3x^2 – 6x = 3x(x – 2)$.
• $y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.
• Xét dấu tam thức bậc hai: $y’ > 0$ khi $x \tin (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$; $y’ < 0$ khi $x \tin (0; 2)$.
Đáp số: Hàm số đồng biến trên $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$; nghịch biến trên $(0; 2)$.
Bài tập 5: Xét tính đơn điệu của hàm số $y = \frac{2x – 1}{x + 1}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
• TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$.
• Đạo hàm: $y’ = \frac{2 \cdot 1 – (-1) \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{3}{(x + 1)^2} > 0, \forall x \ne -1$.
• Ngoài ra, bạn cũng có thể tham khảo thêm các bài toán về hàm số chứa căn thức để rèn luyện kỹ năng toàn diện.
Đáp số: Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định $(-\infty; -1)$ và $(-1; +\infty)$.
Để lại phản hồi