📌 Đề bài:
Xét tính đơn điệu (tìm các khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến) của hàm số bậc nhất trên bậc nhất: $$y = \frac{2x – 3}{x + 1}$$
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để xét tính đơn điệu của hàm số phân thức hữu tỉ dạng $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ ($c \ne 0, ad – bc \ne 0$), ta thực hiện theo các bước sau:
- Bước 1: Tìm tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{d}{c}\right\}$.
- Bước 2: Tính đạo hàm: Sử dụng công thức tính nhanh: $$y’ = \frac{ad – bc}{(cx + d)^2}$$
- Bước 3: Xét dấu của đạo hàm:
– Vì mẫu số $(cx + d)^2 > 0$ với mọi $x \in D$, nên dấu của $y’$ hoàn toàn phụ thuộc vào dấu của biểu thức định thức $ad – bc$.
– Nếu $ad – bc > 0 \implies y’ > 0, \forall x \in D \implies$ Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định $(-\infty; -d/c)$ và $(-d/c; +\infty)$.
– Nếu $ad – bc < 0 \implies y' < 0, \forall x \in D \implies$ Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định $(-\infty; -d/c)$ và $(-d/c; +\infty)$. - Bước 4: Kết luận: Lưu ý không dùng kí hiệu hợp $\cup$ hoặc dấu cộng $+$ khi kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến. Tương tự như khi tìm hiểu tính đơn điệu của hàm số bậc ba hay khảo sát tính đơn điệu hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất, kết luận cần nêu rõ từng khoảng rời nhau.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
1. Tập xác định:
Điều kiện mẫu số khác 0: $x + 1 \ne 0 \iff x \ne -1$.
Do đó, tập xác định của hàm số là: $$D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$$
2. Tính đạo hàm:
Áp dụng công thức đạo hàm phân thức $\left(\frac{u}{v}\right)’ = \frac{u’v – uv’}{v^2}$ hoặc công thức tính nhanh $\left(\frac{ax + b}{cx + d}\right)’ = \frac{ad – bc}{(cx + d)^2}$:
Ta có: $a = 2, b = -3, c = 1, d = 1$.
$$y’ = \frac{2 \cdot 1 – (-3) \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{2 + 3}{(x + 1)^2} = \frac{5}{(x + 1)^2}$$
3. Xét dấu đạo hàm:
Vì tử số $5 > 0$ và mẫu số $(x + 1)^2 > 0$ với mọi $x \ne -1$, nên:
$$y’ > 0, \quad \forall x \in (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$$
4. Bảng biến thiên:
Dựa vào dấu của đạo hàm $y’$, ta thấy trên cả hai khoảng $(-\infty; -1)$ và $(-1; +\infty)$, hàm số đều tăng.
👉 Kết luận: Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng $(-\infty; -1)$ và $(-1; +\infty)$. Hàm số không có khoảng nghịch biến.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $y = \frac{3x + 1}{x – 2}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
– TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$.
– Đạo hàm: $y’ = \frac{3(-2) – 1 \cdot 1}{(x – 2)^2} = \frac{-7}{(x – 2)^2} < 0, \; \forall x \ne 2$.
Đáp án: Hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty; 2)$ và $(2; +\infty)$.
Bài tập 2: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $y = \frac{1 – x}{2x + 3}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
– Viết lại hàm số: $y = \frac{-x + 1}{2x + 3}$. TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{3}{2}\right\}$.
– Đạo hàm: $y’ = \frac{(-1) \cdot 3 – 1 \cdot 2}{(2x + 3)^2} = \frac{-5}{(2x + 3)^2} < 0, \; \forall x \ne -\frac{3}{2}$.
Đáp án: Hàm số nghịch biến trên từng khoảng $\left(-\infty; -\frac{3}{2}\right)$ và $\left(-\frac{3}{2}; +\infty\right)$.
Bài tập 3: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $y = \frac{-2x + 5}{x – 1}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
– TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.
– Đạo hàm: $y’ = \frac{(-2)(-1) – 5 \cdot 1}{(x – 1)^2} = \frac{2 – 5}{(x – 1)^2} = \frac{-3}{(x – 1)^2} < 0, \; \forall x \ne 1$.
Đáp án: Hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$.
Bài tập 4: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $y = \frac{4x – 1}{2x + 1}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
– TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{1}{2}\right\}$.
– Đạo hàm: $y’ = \frac{4 \cdot 1 – (-1) \cdot 2}{(2x + 1)^2} = \frac{6}{(2x + 1)^2} > 0, \; \forall x \ne -\frac{1}{2}$.
Đáp án: Hàm số đồng biến trên từng khoảng $\left(-\infty; -\frac{1}{2}\right)$ và $\left(-\frac{1}{2}; +\infty\right)$.
Bài tập 5: Cho hàm số $y = \frac{mx – 2}{x – m + 1}$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
– TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \{m – 1\}$.
– Đạo hàm: $y’ = \frac{m(-m + 1) – (-2) \cdot 1}{(x – m + 1)^2} = \frac{-m^2 + m + 2}{(x – m + 1)^2}$.
– Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì $y’ > 0, \; \forall x \in D \iff -m^2 + m + 2 > 0 \iff -1 < m < 2$.
Đáp án: Các giá trị cần tìm là $m \in (-1; 2)$. (Ngoài ra, các bạn có thể tham khảo thêm dạng toán xét tính đơn điệu của hàm số chứa căn thức để củng cố kỹ năng giải toán).
Để lại phản hồi