📌 Đề bài:
Tìm các điểm cực trị của hàm số $y = f(x) = \dfrac{x^2 + 3x + 3}{x + 2}$.
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Tương tự như phương pháp tìm cực trị của hàm số bậc ba hay cực trị của hàm số trùng phương, quy trình khảo sát cực trị của hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất gồm các bước:
- Bước 1: Tìm tập xác định $\mathcal{D}$ của hàm số.
- Bước 2: Tính đạo hàm $y’ = f'(x)$. Có thể biến đổi tách $y = ax + b + \dfrac{k}{cx+d}$ để đạo hàm nhanh hoặc dùng công thức $\left(\dfrac{u}{v}\right)’ = \dfrac{u’v – uv’}{v^2}$.
- Bước 3: Giải phương trình $y’ = 0$ để tìm các nghiệm $x_i \in \mathcal{D}$.
- Bước 4: Lập bảng biến thiên (hoặc xét dấu của $y’$) và kết luận các điểm cực trị: Điểm cực đại là điểm mà tại đó đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm; điểm cực tiểu là điểm mà tại đó đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Tập xác định
Hàm số xác định khi và chỉ khi $x + 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne -2$.
Do đó, tập xác định là $\mathcal{D} = \mathbb{R} \setminus \{-2\}$.
Bước 2: Tính đạo hàm $y’$
Ta có thể biểu diễn hàm số dưới dạng: $$y = \dfrac{x(x + 2) + (x + 2) + 1}{x + 2} = x + 1 + \dfrac{1}{x + 2}$$
Lấy đạo hàm ta được:
$$y’ = (x + 1)’ + \left(\dfrac{1}{x + 2}\right)’ = 1 – \dfrac{1}{(x + 2)^2} = \dfrac{(x + 2)^2 – 1}{(x + 2)^2} = \dfrac{x^2 + 4x + 3}{(x + 2)^2}$$
Bước 3: Giải phương trình $y’ = 0$
$$y’ = 0 \Leftrightarrow x^2 + 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = -1 \,(\text{nhận}) \\ x = -3 \,(\text{nhận}) \end{array}\right.$$
Tính các giá trị tương ứng của hàm số:
- Với $x = -3 \Rightarrow y(-3) = -3 + 1 + \dfrac{1}{-3 + 2} = -2 – 1 = -3$.
- Với $x = -1 \Rightarrow y(-1) = -1 + 1 + \dfrac{1}{-1 + 2} = 0 + 1 = 1$.
Bước 4: Bảng xét dấu $y’$ và kết luận
Xét dấu của tam thức $x^2 + 4x + 3$ ở tử số (mẫu số $(x+2)^2 > 0$ với mọi $x \ne -2$):
- Trên các khoảng $(-\infty; -3)$ và $(-1; +\infty)$: $y’ > 0$ (hàm số đồng biến).
- Trên các khoảng $(-3; -2)$ và $(-2; -1)$: $y’ < 0$ (hàm số nghịch biến).
Qua điểm $x = -3$, đạo hàm $y’$ đổi dấu từ dương sang âm, do đó $x = -3$ là điểm cực đại của hàm số.
Qua điểm $x = -1$, đạo hàm $y’$ đổi dấu từ âm sang dương, do đó $x = -1$ là điểm cực tiểu của hàm số.
👉 Kết luận:
– Điểm cực đại của hàm số là $x = -3$, giá trị cực đại là $y_{\text{CĐ}} = -3$ (điểm cực đại của đồ thị hàm số là $M(-3; -3)$).
– Điểm cực tiểu của hàm số là $x = -1$, giá trị cực tiểu là $y_{\text{CT}} = 1$ (điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $N(-1; 1)$).
Để củng cố thêm kỹ năng tính đạo hàm và xét tính đơn điệu của hàm phân thức hữu tỉ, các em hãy cùng luyện tập 5 bài tập phân hóa bên dưới.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số $y = \dfrac{x^2 – 4x + 5}{x – 2}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Tập xác định: $\mathcal{D} = \mathbb{R} \setminus \{2\}$.
Ta có $y = x – 2 + \dfrac{1}{x – 2} \Rightarrow y’ = 1 – \dfrac{1}{(x – 2)^2} = \dfrac{(x – 2)^2 – 1}{(x – 2)^2} = \dfrac{x^2 – 4x + 3}{(x – 2)^2}$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow x^2 – 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 3$.
– Với $x = 1 \Rightarrow y = -2$; $y’$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x = 1$ là điểm cực đại.
– Với $x = 3 \Rightarrow y = 2$; $y’$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x = 3$ là điểm cực tiểu.
Đáp số: Điểm cực đại $x = 1$ ($y_{\text{CĐ}} = -2$); điểm cực tiểu $x = 3$ ($y_{\text{CT}} = 2$).
Bài tập 2: Tìm các điểm cực trị của hàm số $y = x^3 – 3x^2 + 2$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Tập xác định: $\mathcal{D} = \mathbb{R}$.
$y’ = 3x^2 – 6x = 3x(x – 2)$. Cho $y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.
Bảng xét dấu: $y’$ mang dấu $+$ trên $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$, mang dấu $-$ trên $(0; 2)$.
Đáp số: Điểm cực đại $x = 0$ ($y_{\text{CĐ}} = 2$); điểm cực tiểu $x = 2$ ($y_{\text{CT}} = -2$).
Bài tập 3: Tìm các điểm cực trị của hàm số $y = \dfrac{x^2 + x + 1}{x + 1}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Tập xác định: $\mathcal{D} = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$.
Ta có $y = x + \dfrac{1}{x + 1} \Rightarrow y’ = 1 – \dfrac{1}{(x + 1)^2} = \dfrac{x(x + 2)}{(x + 1)^2}$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = -2$.
Đáp số: Điểm cực đại $x = -2$ ($y_{\text{CĐ}} = -3$); điểm cực tiểu $x = 0$ ($y_{\text{CT}} = 1$).
Bài tập 4: Tìm các điểm cực trị của hàm số $y = x^4 – 4x^2 + 3$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Tập xác định: $\mathcal{D} = \mathbb{R}$.
$y’ = 4x^3 – 8x = 4x(x^2 – 2) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = \pm \sqrt{2}$.
Xét dấu $y’$:
- $y’$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x = -\sqrt{2}$ và $x = \sqrt{2}$.
- $y’$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x = 0$.
Đáp số: Hàm số có điểm cực đại $x = 0$ ($y_{\text{CĐ}} = 3$) và hai điểm cực tiểu $x = -\sqrt{2},\, x = \sqrt{2}$ ($y_{\text{CT}} = -1$).
Bài tập 5: Tìm giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số $y = x + \dfrac{4}{x}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Tập xác định: $\mathcal{D} = \mathbb{R} \setminus \{0\}$.
$y’ = 1 – \dfrac{4}{x^2} = \dfrac{x^2 – 4}{x^2}$. Cho $y’ = 0 \Leftrightarrow x = 2$ hoặc $x = -2$.
– Tại $x = -2$: $y’$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x = -2$ là điểm cực đại $\Rightarrow y_{\text{CĐ}} = -4$.
– Tại $x = 2$: $y’$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x = 2$ là điểm cực tiểu $\Rightarrow y_{\text{CT}} = 4$.
Đáp số: $y_{\text{CĐ}} = -4$ tại $x = -2$; $y_{\text{CT}} = 4$ tại $x = 2$.
Để lại phản hồi