Từ một tấm tôn hình chữ nhật có chiều rộng $30\text{ cm}$, người ta gấp hai bên mép lên một góc $\theta$ để tạo thành máng dẫn nước có mặt cắt ngang là hình thang cân với đáy dưới và hai cạnh bên đều có độ dài $10\text{ cm}$. Tìm góc $\theta$ để diện tích mặt cắt ngang của máng đạt giá trị lớn nhất

Bước 1: Thiết lập mô hình toán học

Gọi mặt cắt ngang của máng nước là hình thang cân $ABCD$ với đáy nhỏ $AB = 10\text{ cm}$, hai cạnh bên $AD = BC = 10\text{ cm}$, và góc hợp bởi cạnh bên với phương ngang là $\theta$ ($0^\circ < \theta < 90^\circ$).

Kẻ đường cao $AH \perp CD$ và $BK \perp CD$ ($H, K \in CD$).

Trong tam giác vuông $ADH$ vuông tại $H$:

$$h = AH = AD \cdot \sin \theta = 10\sin \theta$$

$$DH = AD \cdot \cos \theta = 10\cos \theta$$

Do tính đối xứng của hình thang cân, ta có $CK = DH = 10\cos \theta$ và $HK = AB = 10\text{ cm}$.

Độ dài đáy lớn $CD$ là:

$$CD = DH + HK + KC = 10 + 20\cos \theta$$

Bước 2: Biểu diễn diện tích mặt cắt theo góc $\theta$

Diện tích mặt cắt ngang $S$ của hình thang $ABCD$ là:

$$S(\theta) = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2} = \frac{(10 + 10 + 20\cos \theta) \cdot 10\sin \theta}{2} = 100\sin \theta (1 + \cos \theta)$$

Sử dụng công thức nhân đôi $\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2}\sin 2\theta$, ta viết lại:

$$S(\theta) = 100\left(\sin \theta + \frac{1}{2}\sin 2\theta\right)$$

Bước 3: Tìm góc $\theta$ để diện tích lớn nhất

Cách 1: Sử dụng đạo hàm khảo sát hàm số lượng giác

Đạo hàm của $S(\theta)$ theo biến $\theta$:

$$S'(\theta) = 100(\cos \theta + \cos 2\theta) = 100(2\cos^2 \theta + \cos \theta – 1)$$

Cho $S'(\theta) = 0$:

$$2\cos^2 \theta + \cos \theta – 1 = 0 \iff (2\cos \theta – 1)(\cos \theta + 1) = 0$$

Vì $0^\circ < \theta < 90^\circ$ nên $\cos \theta > 0$, do đó $\cos \theta + 1 > 0$. Phương trình tương đương với:

$$\cos \theta = \frac{1}{2} \iff \theta = 60^\circ$$

Lập bảng biến thiên trên khoảng $(0^\circ; 90^\circ)$, ta thấy hàm số $S(\theta)$ đồng biến trên $(0^\circ; 60^\circ)$ và nghịch biến trên $(60^\circ; 90^\circ)$, do đó $S(\theta)$ đạt cực đại tại $\theta = 60^\circ$.

Cách 2: Đánh giá bằng bất đẳng thức lượng giác

Ta có $S^2 = 10000 \sin^2 \theta (1 + \cos \theta)^2 = 10000(1 – \cos \theta)(1 + \cos \theta)^3$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM) cho 4 số dương $3(1 – \cos \theta)$, $(1 + \cos \theta)$, $(1 + \cos \theta)$, $(1 + \cos \theta)$:

$$3(1 – \cos \theta) \cdot (1 + \cos \theta)^3 \le \left[\frac{3(1 – \cos \theta) + 3(1 + \cos \theta)}{4}\right]^4 = \left(\frac{6}{4}\right)^4 = \frac{81}{16}$$

$$\Rightarrow (1 – \cos \theta)(1 + \cos \theta)^3 \le \frac{27}{16}$$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $3(1 – \cos \theta) = 1 + \cos \theta \iff 4\cos \theta = 2 \iff \cos \theta = \frac{1}{2} \iff \theta = 60^\circ$.

Bước 4: Tính diện tích cực đại

Thay $\theta = 60^\circ$ vào công thức tính diện tích:

$$S_{\max} = S(60^\circ) = 100 \sin 60^\circ (1 + \cos 60^\circ) = 100 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2}\right) = 100 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} = 75\sqrt{3}\text{ cm}^2$$

👉 Kết luận / Đáp án: Chọn đáp án B ($\theta = 60^\circ$ và $S_{\max} = 75\sqrt{3}\text{ cm}^2$).