Một vòng quay đu quay có bán kính $30\text{ m}$, trục quay cách mặt đất $35\text{ m}$ và quay đều một vòng mất $120\text{ s}$. Một người vào cabin tại vị trí thấp nhất lúc $t = 0\text{ s}$. Xác định hàm số độ cao $h(t)$ của cabin và tính tổng thời gian người đó ở độ cao từ $50\text{ m}$ trở lên trong một vòng quay

Bước 1: Lập hàm số độ cao $h(t)$

– Chu kỳ chuyển động của vòng quay là $T = 120\text{ s}$, do đó tốc độ góc của chuyển động tròn đều là:
$$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{120} = \frac{\pi}{60}\text{ (rad/s)}$$

– Tại thời điểm $t = 0$, cabin ở điểm thấp nhất, cách mặt đất một khoảng:
$$h(0) = 35 – 30 = 5\text{ (m)}$$

– Sau khoảng thời gian $t$ (giây), góc quay của cabin tính từ tia thẳng đứng hướng xuống là $\alpha = \omega t = \frac{\pi t}{60}\text{ (rad)}$.

– Khi đó, độ cao của cabin so với mặt đất tại thời điểm $t$ được xác định bởi công thức:
$$h(t) = 35 – 30\cos\left(\frac{\pi t}{60}\right)\text{ (m)}, \quad (0 \le t \le 120)$$

Kiểm tra: Tại $t = 0\text{ s} \Rightarrow h(0) = 35 – 30 = 5\text{ m}$; tại đỉnh $t = 60\text{ s} \Rightarrow h(60) = 35 – 30\cos(\pi) = 65\text{ m}$ (hoàn toàn chính xác).

Bước 2: Tìm thời gian cabin ở độ cao từ $50\text{ m}$ trở lên

Để cabin ở độ cao không nhỏ hơn $50\text{ m}$, ta giải bất phương trình:
$$h(t) \ge 50 \iff 35 – 30\cos\left(\frac{\pi t}{60}\right) \ge 50$$
$$\iff -30\cos\left(\frac{\pi t}{60}\right) \ge 15 \iff \cos\left(\frac{\pi t}{60}\right) \le -\frac{1}{2}$$

Đặt $u = \frac{\pi t}{60}$. Vì $0 \le t \le 120$ nên $0 \le u \le 2\pi$.

Trên đường tròn lượng giác với $u \in [0; 2\pi]$, ta có:
$$\cos u \le -\frac{1}{2} \iff \frac{2\pi}{3} \le u \le \frac{4\pi}{3}$$

Thay $u = \frac{\pi t}{60}$ vào hệ bất phương trình:
$$\frac{2\pi}{3} \le \frac{\pi t}{60} \le \frac{4\pi}{3} \iff \frac{2}{3} \le \frac{t}{60} \le \frac{4}{3} \iff 40 \le t \le 80\text{ (giây)}$$

Bước 3: Tính tổng thời gian

Như vậy, trong một vòng quay đầu tiên, cabin ở độ cao từ $50\text{ m}$ trở lên từ giây thứ $40$ đến giây thứ $80$.

Tổng thời gian cabin ở độ cao này là:
$$\Delta t = 80 – 40 = 40\text{ (giây)}$$

👉 Kết luận:
a) Hàm số độ cao: $h(t) = 35 – 30\cos\left(\frac{\pi t}{60}\right)$ (mét).
b) Tổng thời gian cabin ở độ cao từ $50\text{ m}$ trở lên là $40\text{ giây}$.