Một vòng quay đu quay có bán kính $30\text{ m}$, trục quay cách mặt đất $35\text{ m}$ và quay đều một vòng mất $120\text{ s}$. Một người vào cabin tại vị trí thấp nhất lúc $t = 0\text{ s}$. Xác định hàm số độ cao $h(t)$ của cabin và tính tổng thời gian người đó ở độ cao từ $50\text{ m}$ trở lên trong một vòng quay

Bước 1: Lập hàm số độ cao $h(t)$

– Chu kỳ chuyển động của vòng quay là $T = 120\\text{ s}$, do đó tốc độ góc của chuyển động tròn đều là:
$$\\omega = \\frac{2\\pi}{T} = \\frac{2\\pi}{120} = \\frac{\\pi}{60}\\text{ (rad/s)}$$

– Tại thời điểm $t = 0$, cabin ở điểm thấp nhất, cách mặt đất một khoảng:
$$h(0) = 35 – 30 = 5\\text{ (m)}$$

– Sau khoảng thời gian $t$ (giây), góc quay của cabin tính từ tia thẳng đứng hướng xuống là $\\alpha = \\omega t = \\frac{\\pi t}{60}\\text{ (rad)}$.

– Khi đó, độ cao của cabin so với mặt đất tại thời điểm $t$ được xác định bởi công thức:
$$h(t) = 35 – 30\\cos\\left(\\frac{\\pi t}{60}\\right)\\text{ (m)}, \\quad (0 \\le t \\le 120)$$

Kiểm tra: Tại $t = 0\\text{ s} \\Rightarrow h(0) = 35 – 30 = 5\\text{ m}$; tại đỉnh $t = 60\\text{ s} \\Rightarrow h(60) = 35 – 30\\cos(\\pi) = 65\\text{ m}$ (hoàn toàn chính xác).

Bước 2: Tìm thời gian cabin ở độ cao từ $50\\text{ m}$ trở lên

Để cabin ở độ cao không nhỏ hơn $50\\text{ m}$, ta giải bất phương trình:
$$h(t) \\ge 50 \\iff 35 – 30\\cos\\left(\\frac{\\pi t}{60}\\right) \\ge 50$$
$$\\iff -30\\cos\\left(\\frac{\\pi t}{60}\\right) \\ge 15 \\iff \\cos\\left(\\frac{\\pi t}{60}\\right) \\le -\\frac{1}{2}$$

Đặt $u = \\frac{\\pi t}{60}$. Vì $0 \\le t \\le 120$ nên $0 \\le u \\le 2\\pi$.

Trên đường tròn lượng giác với $u \\in [0; 2\\pi]$, ta có:
$$\\cos u \\le -\\frac{1}{2} \\iff \\frac{2\\pi}{3} \\le u \\le \\frac{4\\pi}{3}$$

Thay $u = \\frac{\\pi t}{60}$ vào hệ bất phương trình:
$$\\frac{2\\pi}{3} \\le \\frac{\\pi t}{60} \\le \\frac{4\\pi}{3} \\iff \\frac{2}{3} \\le \\frac{t}{60} \\le \\frac{4}{3} \\iff 40 \\le t \\le 80\\text{ (giây)}$$

Bước 3: Tính tổng thời gian

Như vậy, trong một vòng quay đầu tiên, cabin ở độ cao từ $50\\text{ m}$ trở lên từ giây thứ $40$ đến giây thứ $80$.

Tổng thời gian cabin ở độ cao này là:
$$\\Delta t = 80 – 40 = 40\\text{ (giây)}$$

👉 Kết luận:
a) Hàm số độ cao: $h(t) = 35 – 30\\cos\\left(\\frac{\\pi t}{60}\\right)$ (mét).
b) Tổng thời gian cabin ở độ cao từ $50\\text{ m}$ trở lên là $40\\text{ giây}$.