Một người đứng quan sát một tấm biển quảng cáo cao $3\text{ m}$ được gắn trên tường thẳng đứng. Mép dưới của biển quảng cáo cách tầm mắt người đó $2\text{ m}$ và mép trên cách tầm mắt $5\text{ m}$. Hỏi người đó phải đứng cách bức tường bao nhiêu mét để góc nhìn tấm biển quảng cáo là lớn nhất?

Bước 1: Mô hình hóa các đại lượng hình học theo biến $x$

Gọi $O$ là vị trí đặt mắt của người quan sát.

Gọi $A, B$ lần lượt là điểm mép dưới và mép trên của tấm biển quảng cáo ($AB = 3\text{ m}$).

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên đường thẳng chứa bức tường. Khi đó, khoảng cách từ người đến bức tường là $OH = x$ ($x > 0$).

Theo đề bài ta có:

• Khoảng cách từ mép dưới đến đường ngang tầm mắt là $HA = 2\text{ m}$.
• Khoảng cách từ mép trên đến đường ngang tầm mắt là $HB = HA + AB = 2 + 3 = 5\text{ m}$.

Bước 2: Biểu diễn góc nhìn $\theta = \widehat{AOB}$ theo lượng giác

Xét các tam giác vuông $\Delta OHA$ và $\Delta OHB$ vuông tại $H$:

• Đặt $\beta = \widehat{HOA} \Rightarrow \tan \beta = \frac{HA}{OH} = \frac{2}{x}$.
• Đặt $\alpha = \widehat{HOB} \Rightarrow \tan \alpha = \frac{HB}{OH} = \frac{5}{x}$.

Góc nhìn tấm biển quảng cáo là $\theta = \widehat{AOB} = \alpha – \beta$.

Bước 3: Áp dụng công thức cộng lượng giác

Ta có công thức tang của một hiệu:

$$\tan \theta = \tan(\alpha – \beta) = \frac{\tan \alpha – \tan \beta}{1 + \tan \alpha \cdot \tan \beta}$$

Thay các giá trị $\tan \alpha$ và $\tan \beta$ vào biểu thức:

$$\tan \theta = \frac{\frac{5}{x} – \frac{2}{x}}{1 + \frac{5}{x} \cdot \frac{2}{x}} = \frac{\frac{3}{x}}{1 + \frac{10}{x^2}} = \frac{3x}{x^2 + 10} = \frac{3}{x + \frac{10}{x}}$$

Bước 4: Tìm giá trị lớn nhất bằng Bất đẳng thức AM-GM (Cauchy)

Vì $x > 0$, áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương $x$ và $\frac{10}{x}$:

$$x + \frac{10}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{10}{x}} = 2\sqrt{10}$$

Suy ra:

$$\tan \theta = \frac{3}{x + \frac{10}{x}} \le \frac{3}{2\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{20}$$

Vì hàm số $y = \tan \theta$ đồng biến trên khoảng $\left(0; \frac{\pi}{2}\right)$, nên góc nhìn $\theta$ lớn nhất khi và chỉ khi $\tan \theta$ đạt giá trị lớn nhất.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

$$x = \frac{10}{x} \iff x^2 = 10 \iff x = \sqrt{10} \approx 3{,}16\text{ (m)}$$

👉 Kết luận / Đáp án: Người đó phải đứng cách bức tường một khoảng $x = \sqrt{10}\text{ m} \approx 3{,}16\text{ m}$. Chọn đáp án B.