📌 Đề bài:
Để đo khoảng cách từ điểm $A$ trên bờ đến một vị trí $C$ ngoài cù lao trên sông mà không thể qua sông đo trực tiếp, người ta chọn một điểm $B$ cùng phía bờ sông sao cho khoảng cách $AB = 100\text{ m}$. Bằng giác kế, người ta đo được các góc $\widehat{CAB} = 60^\circ$ và $\widehat{CBA} = 75^\circ$.
a) Tính chính xác giá trị lượng giác $\sin 75^\circ$ bằng công thức cộng lượng giác.
b) Tính khoảng cách $AC$ từ điểm $A$ đến vị trí $C$ (kết quả chính xác dạng căn thức và làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
c) Tính khoảng cách ngắn nhất $h_C$ từ vị trí $C$ đến đường thẳng bờ sông $AB$ (làm tròn đến hàng phần mười).
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Tương tự như bài toán ứng dụng góc nhìn lớn nhất hay mô hình hàm số lượng giác trong thực tế, việc xác định vị trí và khoảng cách không thể tiếp cận trực tiếp dựa vào việc giải tam giác thông qua các công thức lượng giác cơ bản:
- Công thức cộng lượng giác: $\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$. Áp dụng để tính $\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ)$.
- Định lí sin trong tam giác $ABC$: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \Rightarrow AC = \frac{AB \cdot \sin B}{\sin C}$.
- Độ dài đường cao kẻ từ đỉnh $C$: $h_C = AC \cdot \sin \widehat{CAB} = AC \cdot \sin 60^\circ$.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Tính giá trị $\sin 75^\circ$ bằng công thức cộng
Ta phân tích góc $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$ và áp dụng công thức cộng $\sin$:
$$\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ$$$$\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$
Bước 2: Xác định góc $\widehat{ACB}$ và tính độ dài đoạn thẳng $AC$
Xét tam giác $ABC$, tổng ba góc trong một tam giác bằng $180^\circ$:
$$\widehat{ACB} = 180^\circ – (\widehat{CAB} + \widehat{CBA}) = 180^\circ – (60^\circ + 75^\circ) = 45^\circ$$
Áp dụng định lí $\sin$ trong tam giác $ABC$:
$$\frac{AC}{\sin \widehat{CBA}} = \frac{AB}{\sin \widehat{ACB}} \iff \frac{AC}{\sin 75^\circ} = \frac{100}{\sin 45^\circ}$$$$\Rightarrow AC = \frac{100 \cdot \sin 75^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{100 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 50(\sqrt{3} + 1) \text{ (m)}$$$$AC = 50\sqrt{3} + 50 \approx 136{,}6\text{ m}$$
Bước 3: Tính khoảng cách từ $C$ đến đường thẳng $AB$
Khoảng cách ngắn nhất từ điểm $C$ đến đường thẳng bờ sông $AB$ chính là độ dài đường cao $CH$ ($H \in AB$). Trong tam giác vuông $AHC$ vuông tại $H$:
$$h_C = CH = AC \cdot \sin \widehat{CAB} = 50(\sqrt{3} + 1) \cdot \sin 60^\circ = 50(\sqrt{3} + 1) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 25(3 + \sqrt{3})\text{ (m)}$$$$h_C = 75 + 25\sqrt{3} \approx 118{,}3\text{ m}$$
👉 Kết luận:
• $\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
• Khoảng cách $AC = 50(\sqrt{3} + 1)\text{ m} \approx 136{,}6\text{ m}$
• Khoảng cách từ $C$ đến bờ sông $AB$ là $h_C = 25(3 + \sqrt{3})\text{ m} \approx 118{,}3\text{ m}$.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Để đo chiều cao của một tòa tháp $CD$, người ta chọn hai điểm $A$ và $B$ thẳng hàng với chân tháp $D$ trên mặt đất sao cho $AB = 50\text{ m}$. Góc nâng nhìn từ $A$ và $B$ đến đỉnh tháp $C$ lần lượt là $30^\circ$ và $45^\circ$. Tính chiều cao $CD$ của tòa tháp theo mét (chính xác và làm tròn đến hàng đơn vị).
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Tam giác $BCD$ vuông cân tại $D \Rightarrow BD = CD = h$.
Trong tam giác vuông $ACD$: $\tan 30^\circ = \frac{CD}{AD} = \frac{h}{50 + h} \iff \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{50 + h}$.
$\Rightarrow 50 + h = h\sqrt{3} \iff h(\sqrt{3} – 1) = 50 \iff h = \frac{50}{\sqrt{3} – 1} = 25(\sqrt{3} + 1) \approx 68\text{ m}$.
Đáp số: $CD = 25(\sqrt{3} + 1)\text{ m} \approx 68\text{ m}$.
Bài tập 2: Hai tàu thủy $A$ và $B$ xuất phát cùng lúc từ một cảng $O$ đi theo hai hướng tạo với nhau một góc $105^\circ$. Tàu $A$ chạy với vận tốc $20\text{ km/h}$, tàu $B$ chạy với vận tốc $30\text{ km/h}$. Biết $\cos 105^\circ = \frac{\sqrt{2} – \sqrt{6}}{4}$. Tính khoảng cách giữa hai tàu sau 2 giờ di chuyển.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Sau 2 giờ: $OA = 20 \times 2 = 40\text{ km}$, $OB = 30 \times 2 = 60\text{ km}$.
Theo định lí côsin trong tam giác $OAB$:
$AB^2 = OA^2 + OB^2 – 2OA \cdot OB \cos 105^\circ = 40^2 + 60^2 – 2 \cdot 40 \cdot 60 \cdot \left(\frac{\sqrt{2} – \sqrt{6}}{4}\right)$
$AB^2 = 1600 + 3600 – 1200(\sqrt{2} – \sqrt{6}) = 5200 – 1200\sqrt{2} + 1200\sqrt{6} \approx 6442{,}68\text{ km}^2$.
$\Rightarrow AB \approx \sqrt{6442{,}68} \approx 80{,}3\text{ km}$.
Đáp số: $\approx 80{,}3\text{ km}$.
Bài tập 3: Một thanh đòn $OA = 1\text{ m}$ quay quanh trục $O$. Tại thời điểm ban đầu thanh nằm ngang theo tia $Ox$. Sau thời gian $t$ (giây), thanh quét được một góc lượng giác $\alpha(t) = \frac{\pi}{3}t – \frac{\pi}{6}$ (rad). Tìm thời điểm $t > 0$ sớm nhất để hình chiếu vuông góc của đầu $A$ lên trục tung $Oy$ có tọa độ bằng $0{,}5\text{ m}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Tọa độ của đầu $A$ trên trục tung là $y_A = OA \cdot \sin \alpha(t) = 1 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}t – \frac{\pi}{6}\right)$.
Ta cần giải: $\sin\left(\frac{\pi}{3}t – \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$.
Trường hợp 1: $\frac{\pi}{3}t – \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + k2\pi \iff \frac{\pi}{3}t = \frac{\pi}{3} + k2\pi \iff t = 1 + 6k$. Với $k = 0 \Rightarrow t = 1\text{ s}$.
Trường hợp 2: $\frac{\pi}{3}t – \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \iff \frac{\pi}{3}t = \pi + k2\pi \iff t = 3 + 6k$.
Thời điểm sớm nhất là $t = 1\text{ s}$.
Đáp số: $t = 1\text{ giây}$.
Bài tập 4: Một chiếc cầu bập bênh gồm thanh thẳng $AB$ dài $4\text{ m}$ có khớp quay ở điểm chính giữa $O$ cách mặt đất $0{,}8\text{ m}$. Khi một đầu chạm đất, góc nghiêng cực đại $\alpha$ của thanh đòn so với phương nằm ngang là bao nhiêu?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Độ dài nửa thanh đòn là $OA = \frac{4}{2} = 2\text{ m}$.
Khi đầu $A$ chạm đất, độ cao hạ từ $O$ xuống mặt đất chính là $h = 0{,}8\text{ m}$.
Trong tam giác vuông tạo bởi khớp $O$, điểm $A$ chạm đất và hình chiếu của $O$ lên đất:
$\sin \alpha = \frac{0{,}8}{OA} = \frac{0{,}8}{2} = 0{,}4 \Rightarrow \alpha = \arcsin(0{,}4) \approx 23{,}58^\circ \approx 23^\circ 35’$.
Đáp số: $\alpha \approx 23{,}58^\circ$.
Bài tập 5: Trong ngành cơ khí chế tạo, chuyển động của pit-tông trong xi-lanh của động cơ đốt trong được tính theo công thức độ dịch chuyển $x(\theta) = R\left(1 – \cos \theta + \frac{\lambda}{2}\sin^2 \theta\right)$, trong đó $R = 6\text{ cm}$ là bán kính tay quay, $\lambda = 0{,}25$ là tỉ số thanh truyền. Hãy tính độ dịch chuyển $x$ khi góc quay $\theta = 60^\circ$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Khi $\theta = 60^\circ$, ta có $\cos 60^\circ = 0{,}5$ và $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \sin^2 60^\circ = \frac{3}{4} = 0{,}75$.
Thay số vào biểu thức:
$x(60^\circ) = 6\left(1 – 0{,}5 + \frac{0{,}25}{2} \cdot 0{,}75\right) = 6\left(0{,}5 + 0{,}09375\right) = 6 \times 0{,}59375 = 3{,}5625\text{ cm}$.
Đáp số: $x(60^\circ) = 3{,}5625\text{ cm}$.
Để lại phản hồi