📌 Đề bài:
Một tòa tháp $AB$ có chiều cao $h = 50\text{ m}$ được xây dựng thẳng đứng trên sườn một ngọn đồi dốc nghiêng lên một góc $\beta = 15^\circ$ so với mặt phẳng nằm ngang. Vào một thời điểm buổi sáng, ánh sáng mặt trời chiếu nghiêng xuống theo hướng tạo với phương nằm ngang một góc nâng $\alpha = 40^\circ$, làm cho bóng của đỉnh tháp đổ dọc theo sườn dốc đồi đến điểm $C$. Hãy tính chiều dài bóng $AC$ của tòa tháp in trên sườn đồi (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm mét).
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để giải quyết bài toán thực tế này, ta đưa về mô hình tam giác $ABC$ tạo bởi chân tháp $A$, đỉnh tháp $B$ và điểm mút của bóng tháp $C$ trên sườn đồi:
- Xác định các góc trong tam giác $\Delta ABC$:
- Tòa tháp $AB$ vuông góc với phương ngang, sườn đồi dốc lên góc $15^\circ$ so với phương ngang nên góc tạo bởi tháp và sườn đồi là $\widehat{BAC} = 90^\circ – 15^\circ = 75^\circ$ (hoặc $90^\circ + 15^\circ$ tùy theo hướng dốc).
- Tia sáng mặt trời $BC$ hợp với phương ngang một góc $40^\circ$, trong khi sườn đồi nghiêng $15^\circ$ cùng hướng nên góc giữa tia sáng và sườn đồi tại điểm mút $C$ là $\widehat{BCA} = 40^\circ – 15^\circ = 25^\circ$.
- Từ đó suy ra góc tại đỉnh tháp: $\widehat{ABC} = 180^\circ – (\widehat{BAC} + \widehat{BCA}) = 180^\circ – (75^\circ + 25^\circ) = 80^\circ$.
- Áp dụng Định lý Sin trong tam giác:
$$\frac{AC}{\sin \widehat{ABC}} = \frac{AB}{\sin \widehat{BCA}} \implies AC = AB \cdot \frac{\sin \widehat{ABC}}{\sin \widehat{BCA}}$$
Việc mô hình hóa hình học kết hợp định lý lượng giác tương tự như bài toán ứng dụng định lý sin trong đo đạc khoảng cách giúp giải quyết nhanh chóng các bài toán thực tiễn phức tạp.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Mô hình hóa bài toán bằng tam giác $\Delta ABC$
- Gọi $A$ là chân tòa tháp, $B$ là đỉnh tòa tháp ($AB = 50\text{ m}$).
- Đường thẳng chứa sườn đồi đi qua $A$ và nghiêng một góc $\beta = 15^\circ$ so với mặt phẳng nằm ngang.
- Tia sáng mặt trời qua đỉnh tháp $B$ chạm sườn đồi tại điểm $C$. Đoạn $AC$ chính là chiều dài bóng của tòa tháp trên sườn đồi.
Bước 2: Tính số đo các góc của tam giác $\Delta ABC$
- Vì tòa tháp $AB$ dựng thẳng đứng (vuông góc với phương ngang) và sườn đồi dốc lên một góc $15^\circ$ so với phương ngang, nên:
$$\widehat{BAC} = 90^\circ – 15^\circ = 75^\circ$$ - Tia nắng $BC$ chiếu nghiêng tạo với phương ngang góc $40^\circ$, sườn đồi nghiêng $15^\circ$ so với phương ngang, suy ra góc giữa tia nắng và sườn đồi tại $C$ là:
$$\widehat{BCA} = 40^\circ – 15^\circ = 25^\circ$$ - Tổng ba góc trong $\Delta ABC$ bằng $180^\circ$, do đó:
$$\widehat{ABC} = 180^\circ – (\widehat{BAC} + \widehat{BCA}) = 180^\circ – (75^\circ + 25^\circ) = 80^\circ$$
Bước 3: Tính độ dài bóng $AC$ bằng Định lý Sin
Áp dụng định lý Sin trong tam giác $\Delta ABC$, ta có:
$$\frac{AC}{\sin \widehat{ABC}} = \frac{AB}{\sin \widehat{BCA}}$$
$$\implies AC = AB \cdot \frac{\sin \widehat{ABC}}{\sin \widehat{BCA}} = 50 \cdot \frac{\sin 80^\circ}{\sin 25^\circ}$$
Sử dụng máy tính cầm tay tính toán:
$$AC = 50 \cdot \frac{0{,}9848}{0{,}4226} \approx 116{,}514\text{ m} \approx 116{,}51\text{ m}$$
👉 Kết luận: Chiều dài bóng của tòa tháp in trên sườn đồi xấp xỉ $116{,}51\text{ m}$.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Một cột cờ cao $12\text{ m}$ đứng thẳng trên sườn đồi dốc xuống nghiêng $10^\circ$ so với phương ngang. Vào thời điểm tia sáng mặt trời chiếu với góc nâng $45^\circ$ so với phương ngang, bóng của cột cờ in xuôi theo dốc đồi. Tính chiều dài bóng của cột cờ (làm tròn đến hàng phần mười).
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Góc tạo bởi cột cờ và mặt dốc xuống: $\widehat{A} = 90^\circ + 10^\circ = 100^\circ$.
Góc tại mút bóng nắng $C$: $\widehat{C} = 45^\circ – (-10^\circ) = 45^\circ – 10^\circ = 35^\circ$ (hoặc xét tam giác: góc tia sáng so với mặt dốc là $45^\circ + 10^\circ = 55^\circ$ tuỳ chiều chiếu). Vì chiếu cùng phía xuôi dốc: $\widehat{C} = 45^\circ + 10^\circ = 55^\circ \implies \widehat{B} = 180^\circ – 100^\circ – 55^\circ = 25^\circ$.
Áp dụng định lý Sin: $l = 12 \cdot \frac{\sin 25^\circ}{\sin 55^\circ} \approx 12 \cdot \frac{0{,}4226}{0{,}8192} \approx 6{,}2\text{ m}$.
Đáp số: $6{,}2\text{ m}$.
Bài tập 2: Một người đứng cách chân một tòa nhà $40\text{ m}$ trên mặt đất bằng phẳng nhìn thấy đỉnh tòa nhà dưới một góc nâng $32^\circ$. Khi người đó lùi xa thêm $30\text{ m}$ thẳng hàng với vị trí cũ thì góc nâng nhìn lên đỉnh tòa nhà là bao nhiêu độ (làm tròn đến phút)?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Chiều cao tòa nhà: $h = 40 \cdot \tan 32^\circ \approx 40 \cdot 0{,}6249 = 24{,}995\text{ m}$.
Khoảng cách mới đến chân tòa nhà: $d = 40 + 30 = 70\text{ m}$.
Góc nâng mới $\alpha$: $\tan \alpha = \frac{h}{d} = \frac{24{,}995}{70} \approx 0{,}3571 \implies \alpha \approx 19^\circ 39’$.
Đáp số: $19^\circ 39’$.
Bài tập 3: Một cây cầu vượt bằng dây cáp có trụ cầu thẳng đứng cao $35\text{ m}$. Hai sợi dây cáp căng từ đỉnh trụ lần lượt nối với hai điểm cố định trên mặt cầu cùng phía với góc nghiêng so với mặt phẳng ngang là $60^\circ$ và $30^\circ$. Tính khoảng cách giữa hai điểm neo cáp trên mặt cầu.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Khoảng cách từ chân trụ cầu đến điểm neo thứ nhất: $d_1 = \frac{35}{\tan 60^\circ} = \frac{35}{\sqrt{3}} \approx 20{,}21\text{ m}$.
Khoảng cách từ chân trụ cầu đến điểm neo thứ hai: $d_2 = \frac{35}{\tan 30^\circ} = 35\sqrt{3} \approx 60{,}62\text{ m}$.
Khoảng cách giữa hai điểm neo: $\Delta d = d_2 – d_1 = 35\sqrt{3} – \frac{35\sqrt{3}}{3} = \frac{70\sqrt{3}}{3} \approx 40{,}41\text{ m}$.
Đáp số: $\approx 40{,}41\text{ m}$.
Bài tập 4: Một máy bay đang bay ở độ cao $1200\text{ m}$ theo phương ngang. Tại thời điểm $t_1$, phi công nhìn một trạm kiểm soát dưới mặt đất với góc hạ $25^\circ$. Sau $10\text{ s}$, phi công nhìn thấy trạm kiểm soát đó với góc hạ $55^\circ$. Tính vận tốc bay trung bình của máy bay theo đơn vị $\text{km/h}$ (làm tròn đến hàng đơn vị).
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Khoảng cách ngang lúc đầu: $x_1 = \frac{1200}{\tan 25^\circ} \approx 2573{,}4\text{ m}$.
Khoảng cách ngang lúc sau: $x_2 = \frac{1200}{\tan 55^\circ} \approx 840{,}2\text{ m}$.
Quãng đường máy bay đi được trong $10\text{ s}$: $S = x_1 – x_2 = 2573{,}4 – 840{,}2 = 1733{,}2\text{ m}$.
Vận tốc: $v = \frac{1733{,}2}{10} = 173{,}32\text{ m/s} = 173{,}32 \times 3{,}6 \approx 624\text{ km/h}$.
Đáp số: $624\text{ km/h}$.
Bài tập 5: Bạn có thể tham khảo thêm các dạng toán tối ưu hình học như bài toán tìm góc uốn máng tôn để diện tích mặt cắt lớn nhất. Tương tự, một cánh cửa quay có bán kính cánh $R = 1{,}5\text{ m}$ mở tạo thành góc $\theta$ so với vị trí đóng. Khi $\theta = 60^\circ$, tính khoảng cách giữa mút ngoài cánh cửa với vị trí mút ban đầu khi đóng.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Tam giác tạo bởi tâm quay và hai vị trí mút là tam giác cân có góc ở đỉnh bằng $\theta = 60^\circ$, do đó đây là tam giác đều.
Khoảng cách giữa hai mút cửa: $d = 2R\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = 2 \cdot 1{,}5 \cdot \sin 30^\circ = 3 \cdot 0{,}5 = 1{,}5\text{ m}$.
Đáp số: $1{,}5\text{ m}$.
Để lại phản hồi