📌 Đề bài:
Rút gọn biểu thức lượng giác sau (với giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):
$$P = \frac{\sin x + \sin 2x + \sin 3x}{\cos x + \cos 2x + \cos 3x}$$
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để giải quyết các bài toán rút gọn dạng phân thức chứa tổng các hàm số lượng giác bậc nhất, ta thường ghép các cặp góc đối xứng để áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích:
- $\sin a + \sin b = 2\sin\left(\frac{a + b}{2}\right)\cos\left(\frac{a – b}{2}\right)$
- $\cos a + \cos b = 2\cos\left(\frac{a + b}{2}\right)\cos\left(\frac{a – b}{2}\right)$
Chiến lược ghép cặp: Nhận thấy số đo các góc là $x, 2x, 3x$ lập thành một cấp số cộng, ta nhóm số hạng đầu $\sin x$ với số hạng cuối $\sin 3x$ (tương tự cho $\cos x$ và $\cos 3x$) vì $\frac{x + 3x}{2} = 2x$, từ đó làm xuất hiện nhân tử chung ở cả tử số và mẫu số. Phương pháp này tương tự như bài toán rút gọn biểu thức lượng giác $\frac{\sin x + \sin 3x + \sin 5x}{\cos x + \cos 3x + \cos 5x}$.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Biến đổi và đặt nhân tử chung ở tử số
Nhóm hạng tử thứ nhất và thứ ba:
$$\text{Tử số} = (\sin 3x + \sin x) + \sin 2x$$
Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích $\sin 3x + \sin x = 2\sin\left(\frac{3x+x}{2}\right)\cos\left(\frac{3x-x}{2}\right) = 2\sin 2x \cos x$, ta được:
$$\text{Tử số} = 2\sin 2x \cos x + \sin 2x = \sin 2x (2\cos x + 1)$$
Bước 2: Biến đổi và đặt nhân tử chung ở mẫu số
Nhóm hạng tử thứ nhất và thứ ba ở mẫu:
$$\text{Mẫu số} = (\cos 3x + \cos x) + \cos 2x$$
Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích $\cos 3x + \cos x = 2\cos\left(\frac{3x+x}{2}\right)\cos\left(\frac{3x-x}{2}\right) = 2\cos 2x \cos x$, ta được:
$$\text{Mẫu số} = 2\cos 2x \cos x + \cos 2x = \cos 2x (2\cos x + 1)$$
Bước 3: Rút gọn phân thức
Thay tử số và mẫu số vừa rút gọn vào biểu thức $P$:
$$P = \frac{\sin 2x (2\cos x + 1)}{\cos 2x (2\cos x + 1)} = \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \tan 2x$$
👉 Kết luận / Đáp án: $P = \tan 2x$
Kỹ thuật biến đổi tổng thành tích không chỉ hữu ích trong các bài toán đại số lượng giác mà còn là nền tảng để giải quyết dạng bài tính giá trị của biểu thức tổng các cos cũng như các bài tập rút gọn biểu thức lượng giác nâng cao.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Rút gọn biểu thức $A = \frac{\sin x + \sin 3x + \sin 5x + \sin 7x}{\cos x + \cos 3x + \cos 5x + \cos 7x}$
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Ghép cặp góc đối xứng:
Tử: $(\sin 7x + \sin x) + (\sin 5x + \sin 3x) = 2\sin 4x\cos 3x + 2\sin 4x\cos x = 2\sin 4x(\cos 3x + \cos x)$.
Mẫu: $(\cos 7x + \cos x) + (\cos 5x + \cos 3x) = 2\cos 4x\cos 3x + 2\cos 4x\cos x = 2\cos 4x(\cos 3x + \cos x)$.
Suy ra: $A = \frac{2\sin 4x(\cos 3x + \cos x)}{2\cos 4x(\cos 3x + \cos x)} = \frac{\sin 4x}{\cos 4x} = \tan 4x$.
Đáp số: $A = \tan 4x$.
Bài tập 2: Rút gọn biểu thức $B = \frac{\cos x – \cos 3x}{\sin 3x – \sin x}$
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích trực tiếp:
$\cos x – \cos 3x = -2\sin\left(\frac{x+3x}{2}\right)\sin\left(\frac{x-3x}{2}\right) = -2\sin 2x \sin(-x) = 2\sin 2x \sin x$.
$\sin 3x – \sin x = 2\cos 2x \sin x$.
Suy ra: $B = \frac{2\sin 2x \sin x}{2\cos 2x \sin x} = \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \tan 2x$.
Đáp số: $B = \tan 2x$.
Bài tập 3: Rút gọn biểu thức $C = \frac{\sin 5x – \sin 3x + \sin x}{\cos 5x – \cos 3x + \cos x}$
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Tử số: $(\sin 5x + \sin x) – \sin 3x = 2\sin 3x\cos 2x – \sin 3x = \sin 3x(2\cos 2x – 1)$.
Mẫu số: $(\cos 5x + \cos x) – \cos 3x = 2\cos 3x\cos 2x – \cos 3x = \cos 3x(2\cos 2x – 1)$.
Suy ra: $C = \frac{\sin 3x(2\cos 2x – 1)}{\cos 3x(2\cos 2x – 1)} = \tan 3x$.
Đáp số: $C = \tan 3x$.
Bài tập 4: Tính giá trị của biểu thức $D = \frac{\sin 40^\circ + \sin 20^\circ}{\cos 40^\circ + \cos 20^\circ}$
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Áp dụng biến đổi tổng thành tích:
$\sin 40^\circ + \sin 20^\circ = 2\sin 30^\circ \cos 10^\circ$.
$\cos 40^\circ + \cos 20^\circ = 2\cos 30^\circ \cos 10^\circ$.
Do đó: $D = \frac{2\sin 30^\circ \cos 10^\circ}{2\cos 30^\circ \cos 10^\circ} = \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Đáp số: $D = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Bài tập 5: Rút gọn biểu thức $E = \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + \cos\left(x – \frac{\pi}{3}\right) + \cos x$
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích cho hai số hạng đầu:
$\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + \cos\left(x – \frac{\pi}{3}\right) = 2\cos x \cos\frac{\pi}{3} = 2\cos x \cdot \frac{1}{2} = \cos x$.
Vậy: $E = \cos x + \cos x = 2\cos x$.
Đáp số: $E = 2\cos x$.
Để lại phản hồi