📌 Đề bài:
Tính giá trị của biểu thức lượng giác sau: $$P = \cos \frac{2\pi}{7} + \cos \frac{4\pi}{7} + \cos \frac{6\pi}{7}$$
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để tính tổng các góc có bước nhảy cấp số cộng của hàm $\cos$, phương pháp tối ưu nhất là nhân cả hai vế với $2\sin \frac{\alpha}{2}$ (ở đây $\alpha = \frac{2\pi}{7}$ là công sai, ta nhân với $2\sin \frac{\pi}{7}$) rồi áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng để triệt tiêu các số hạng liên tiếp (sai phân hữu hạn).
- Công thức biến đổi tích thành tổng: $$2\sin A \cos B = \sin(A + B) + \sin(A – B)$$
- Công thức cung phụ, bù: $\sin(\pi – x) = \sin x$, $\sin(-x) = -\sin x$, $\sin \pi = 0$.
- Tương tự kỹ thuật biến đổi đã gặp khi tính giá trị biểu thức $\cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7}$, việc chọn nhân lượng liên hợp thích hợp sẽ đơn giản hóa bài toán một cách nhanh chóng.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Nhân cả hai vế của biểu thức $P$ với $2\sin \frac{\pi}{7} \neq 0$:
$$2P \sin \frac{\pi}{7} = 2\sin \frac{\pi}{7}\cos \frac{2\pi}{7} + 2\sin \frac{\pi}{7}\cos \frac{4\pi}{7} + 2\sin \frac{\pi}{7}\cos \frac{6\pi}{7}$$
Bước 2: Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng $2\sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ cho từng số hạng:
- $2\sin \frac{\pi}{7}\cos \frac{2\pi}{7} = \sin\left(\frac{\pi}{7} + \frac{2\pi}{7}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{7} – \frac{2\pi}{7}\right) = \sin \frac{3\pi}{7} – \sin \frac{\pi}{7}$
- $2\sin \frac{\pi}{7}\cos \frac{4\pi}{7} = \sin\left(\frac{\pi}{7} + \frac{4\pi}{7}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{7} – \frac{4\pi}{7}\right) = \sin \frac{5\pi}{7} – \sin \frac{3\pi}{7}$
- $2\sin \frac{\pi}{7}\cos \frac{6\pi}{7} = \sin\left(\frac{\pi}{7} + \frac{6\pi}{7}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{7} – \frac{6\pi}{7}\right) = \sin \pi – \sin \frac{5\pi}{7}$
Bước 3: Cộng vế theo vế các kết quả vừa biến đổi:
$$2P \sin \frac{\pi}{7} = \left(\sin \frac{3\pi}{7} – \sin \frac{\pi}{7}\right) + \left(\sin \frac{5\pi}{7} – \sin \frac{3\pi}{7}\right) + \left(\sin \pi – \sin \frac{5\pi}{7}\right)$$
Rút gọn các số hạng đối nhau:
$$2P \sin \frac{\pi}{7} = -\sin \frac{\pi}{7} + \sin \pi$$
Vì $\sin \pi = 0$, ta có:
$$2P \sin \frac{\pi}{7} = -\sin \frac{\pi}{7}$$
Do $\sin \frac{\pi}{7} \neq 0$, chia cả hai vế cho $2\sin \frac{\pi}{7}$, ta được:
$$P = -\frac{1}{2}$$
👉 Kết luận / Đáp án: Chọn B. Giá trị của biểu thức là $P = -\frac{1}{2}$.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Tính giá trị của biểu thức $A = \cos \frac{\pi}{5} + \cos \frac{3\pi}{5}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Nhân cả hai vế với $2\sin \frac{\pi}{5}$:
$$2A \sin \frac{\pi}{5} = 2\sin \frac{\pi}{5} \cos \frac{\pi}{5} + 2\sin \frac{\pi}{5} \cos \frac{3\pi}{5}$$
$$= \sin \frac{2\pi}{5} + \sin \frac{4\pi}{5} – \sin \frac{2\pi}{5} = \sin \frac{4\pi}{5} = \sin\left(\pi – \frac{\pi}{5}\right) = \sin \frac{\pi}{5}$$
$$\Rightarrow 2A = 1 \iff A = \frac{1}{2}$$
Đáp số: $A = \frac{1}{2}$.
Bài tập 2: Tính giá trị của biểu thức $B = \cos \frac{\pi}{7} – \cos \frac{2\pi}{7} + \cos \frac{3\pi}{7}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Nhân cả hai vế với $2\sin \frac{\pi}{7}$:
$$2B\sin \frac{\pi}{7} = 2\sin \frac{\pi}{7}\cos \frac{\pi}{7} – 2\sin \frac{\pi}{7}\cos \frac{2\pi}{7} + 2\sin \frac{\pi}{7}\cos \frac{3\pi}{7}$$
$$= \sin \frac{2\pi}{7} – \left(\sin \frac{3\pi}{7} – \sin \frac{\pi}{7}\right) + \left(\sin \frac{4\pi}{7} – \sin \frac{2\pi}{7}\right)$$
Vì $\sin \frac{4\pi}{7} = \sin\left(\pi – \frac{3\pi}{7}\right) = \sin \frac{3\pi}{7}$, biểu thức rút gọn thành:
$$2B\sin \frac{\pi}{7} = \sin \frac{\pi}{7} \implies B = \frac{1}{2}$$
Đáp số: $B = \frac{1}{2}$.
Bài tập 3: Tính giá trị của biểu thức $C = \cos \frac{\pi}{9} + \cos \frac{5\pi}{9} + \cos \frac{7\pi}{9}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Nhân cả hai vế với $2\sin \frac{\pi}{9}$:
$$2C \sin \frac{\pi}{9} = 2\sin \frac{\pi}{9}\cos \frac{\pi}{9} + 2\sin \frac{\pi}{9}\cos \frac{5\pi}{9} + 2\sin \frac{\pi}{9}\cos \frac{7\pi}{9}$$
$$= \sin \frac{2\pi}{9} + \left(\sin \frac{6\pi}{9} – \sin \frac{4\pi}{9}\right) + \left(\sin \frac{8\pi}{9} – \sin \frac{6\pi}{9}\right)$$
$$= \sin \frac{2\pi}{9} – \sin \frac{4\pi}{9} + \sin \frac{8\pi}{9}$$
Biết rằng $\sin \frac{8\pi}{9} = \sin \frac{\pi}{9}$. Kết hợp biến đổi tổng thành tích:
$$\sin \frac{\pi}{9} + \sin \frac{2\pi}{9} – \sin \frac{4\pi}{9} = 2\sin \frac{\pi}{6}\cos \frac{\pi}{18} – \dots = 0$$
Do đó, $2C \sin \frac{\pi}{9} = 0 \implies C = 0$.
Đáp số: $C = 0$.
Bài tập 4: Tính giá trị của biểu thức $D = \tan 20^\circ \tan 40^\circ \tan 80^\circ$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Ta viết lại $D = \frac{\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ}{\cos 20^\circ \cos 40^\
Để lại phản hồi