📌 Đề bài:
Rút gọn biểu thức lượng giác sau (với giả thiết biểu thức có nghĩa):
$$P = \frac{\sin x + \sin 3x + \sin 5x}{\cos x + \cos 3x + \cos 5x}$$
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để rút gọn các biểu thức chứa tổng của nhiều hàm số lượng giác dạng bậc nhất, phương pháp hữu hiệu nhất là nhóm các số hạng có tổng các cung đối xứng để áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích nhằm tạo ra nhân tử chung.
- Công thức biến đổi tổng thành tích lượng giác cơ bản:
- $\sin u + \sin v = 2\sin\frac{u+v}{2}\cos\frac{u-v}{2}$
- $\cos u + \cos v = 2\cos\frac{u+v}{2}\cos\frac{u-v}{2}$
- Tương tự như kỹ thuật giải trong bài toán rút gọn biểu thức lượng giác chứa nhiều góc, ta nhóm số hạng đầu $\sin x$ với số hạng cuối $\sin 5x$ (vì $\frac{x+5x}{2} = 3x$) để làm xuất hiện nhân tử chung $\sin 3x$ ở tử số và $\cos 3x$ ở mẫu số.
- Định nghĩa hàm tang: $\tan 3x = \frac{\sin 3x}{\cos 3x}$.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Nhóm các số hạng ở tử số và mẫu số
Ta nhóm các góc $x$ và $5x$ với nhau ở cả tử và mẫu:
$$P = \frac{(\sin 5x + \sin x) + \sin 3x}{(\cos 5x + \cos x) + \cos 3x}$$
Bước 2: Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích
Áp dụng công thức $\sin 5x + \sin x = 2\sin\left(\frac{5x+x}{2}\right)\cos\left(\frac{5x-x}{2}\right) = 2\sin 3x \cos 2x$.
Áp dụng công thức $\cos 5x + \cos x = 2\cos\left(\frac{5x+x}{2}\right)\cos\left(\frac{5x-x}{2}\right) = 2\cos 3x \cos 2x$.
Thay vào biểu thức $P$, ta được:
$$P = \frac{2\sin 3x \cos 2x + \sin 3x}{2\cos 3x \cos 2x + \cos 3x}$$
Bước 3: Đặt nhân tử chung và triệt tiêu
Đặt $\sin 3x$ ở tử số và $\cos 3x$ ở mẫu số làm nhân tử chung:
$$P = \frac{\sin 3x (2\cos 2x + 1)}{\cos 3x (2\cos 2x + 1)}$$
Triệt tiêu lượng chung $(2\cos 2x + 1) \neq 0$, ta có:
$$P = \frac{\sin 3x}{\cos 3x} = \tan 3x$$
👉 Kết luận: Biểu thức sau khi rút gọn là $P = \tan 3x$.
Để hiểu sâu hơn về các dạng toán biến đổi cung và góc lượng giác khác, bạn có thể tham khảo bài toán Rút gọn biểu thức lượng giác $P = \frac{\sin 4x – \sin 2x}{1 – \cos 2x + \cos 4x}$ hoặc dạng tính tổng đại số lượng giác như Tính giá trị của biểu thức $P = \cos \frac{2\pi}{7} + \cos \frac{4\pi}{7} + \cos \frac{6\pi}{7}$.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Rút gọn biểu thức $A = \frac{\sin x + \sin 2x + \sin 3x}{\cos x + \cos 2x + \cos 3x}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Khi đó: $A = \frac{2\sin 2x \cos x + \sin 2x}{2\cos 2x \cos x + \cos 2x} = \frac{\sin 2x(2\cos x + 1)}{\cos 2x(2\cos x + 1)} = \tan 2x$.
Đáp số: $A = \tan 2x$.
Bài tập 2: Rút gọn biểu thức $B = \frac{\sin a + \sin 3a + \sin 5a + \sin 7a}{\cos a + \cos 3a + \cos 5a + \cos 7a}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Mẫu số: $(\cos 7a + \cos a) + (\cos 5a + \cos 3a) = 2\cos 4a (\cos 3a + \cos a)$.
Triệt tiêu nhân tử chung: $B = \frac{2\sin 4a (\cos 3a + \cos a)}{2\cos 4a (\cos 3a + \cos a)} = \frac{\sin 4a}{\cos 4a} = \tan 4a$.
Đáp số: $B = \tan 4a$.
Bài tập 3: Rút gọn biểu thức $C = \frac{\cos x – \cos 3x + \cos 5x – \cos 7x}{\sin x + \sin 3x + \sin 5x + \sin 7x}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Mẫu số: $(\sin 7x + \sin x) + (\sin 5x + \sin 3x) = 2\sin 4x \cos 3x + 2\sin 4x \cos x = 2\sin 4x (\cos 3x + \cos x) = 4\sin 4x \cos 2x \cos x$.
Rút gọn: $C = \frac{4\sin 4x \cos 2x \sin x}{4\sin 4x \cos 2x \cos x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$.
Đáp số: $C = \tan x$.
Bài tập 4: Tính giá trị của biểu thức $D = \frac{\sin 20^\circ + \sin 40^\circ + \sin 60^\circ + \sin 80^\circ}{\cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \cos 60^\circ + \cos 80^\circ}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
$$D = \tan(4 \times 20^\circ) = \tan 80^\circ$$
Hoặc viết dưới dạng $\cot 10^\circ$.
Bài tập 5: Tính giá trị của biểu thức $E = \cos 75^\circ + \cos 15^\circ$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
$E = 2\cos\left(\frac{75^\circ + 15^\circ}{2}\right)\cos\left(\frac{75^\circ – 15^\circ}{2}\right) = 2\cos 45^\circ \cos 30^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.
Đáp số: $E = \frac{\sqrt{6}}{2}$.
Để lại phản hồi