Đề bài: Cho các số thực $a,b,c,d$ thoả mãn $a^2+b^2=1, c^2+d^2=1$. Chứng minh rằng: $|a(c-d)+b(c+d)|\leq \sqrt{2}$. Lời giải Đề bài: Cho các số thực $a,b,c,d$ thoả mãn $a^2+b^2=1, c^2+d^2=1$. Chứng minh rằng: $|a(c-d)+b(c+d)|\leq \sqrt{2}$. Lời giải Từ giả thiết: $a^2+b^2=1$, đặt $a=\sin\alpha$ và $b=\cos\alpha, \alpha\in[0,2\pi).$ $c^2+d^2=1$, đặt $c=\sin\beta$ và $d=\cos\beta, \beta\in[0,2\pi).$ Khi đó: $|a(c-d)+b(c+d)|=|(\sin\beta-\cos\beta)\sin\alpha+(\sin\beta+\cos\beta)\cos\alpha|$ $\displaystyle […]
Bất đẳng thức - Bài tập tự luận
Đề bài: Cho: $\begin{cases} 0
Đề bài: Cho: $\begin{cases} 0 Lời giải Đề bài: Cho: $\begin{cases} 0 Lời giải Do $nx>-1, 0eo BĐT Bernoulli:$\left ( 1+nx \right )^{\frac{1}{n}}$\Rightarrow \left ( 1+nx \right )^{\frac{1}{n}} ========= Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác
Đề bài: Cho $a, b, c$ là số đo 3 cạnh của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng: $ a^2 + b^2 + c^2 < 2( ab + bc + ca) $
Đề bài: Cho $a, b, c$ là số đo 3 cạnh của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng: $ a^2 + b^2 + c^2 < 2( ab + bc + ca) $ Lời giải Đề bài: Cho $a, b, c$ là số đo 3 cạnh của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng: $ a^2 + […]
Đề bài: Biết rằng $a, b, c$ là độ dài các cạnh của một tam giác, $p$ là nửa chu vi, chứng minh rằng: \(\sqrt p < \sqrt {p - a} + \sqrt {p - b} + \sqrt {p - c} \le \sqrt {3p} \)
Đề bài: Biết rằng $a, b, c$ là độ dài các cạnh của một tam giác, $p$ là nửa chu vi, chứng minh rằng: \(\sqrt p < \sqrt {p - a} + \sqrt {p - b} + \sqrt {p - c} \le \sqrt {3p} […]
Đề bài: Chứng minh rằng: $\sin^4 x+\cos^4 x \leq 1 0^0 \leq x \leq 180^0 $
Đề bài: Chứng minh rằng: $\sin^4 x+\cos^4 x \leq 1 0^0 \leq x \leq 180^0 $ Lời giải Đề bài: Chứng minh rằng: $\sin^4 x+\cos^4 x \leq 1 […]
Đề bài: Chứng minh rằng:$\left ( \sin x +a\cos x\right )\left ( \sin x +b\cos x\right )\leq \frac{1}{2}[1+ab+\sqrt{\left ( 1+a^{2} \right )\left ( 1+b^{2} \right )}]$
Đề bài: Chứng minh rằng:$\left ( \sin x +a\cos x\right )\left ( \sin x +b\cos x\right )\leq \frac{1}{2}[1+ab+\sqrt{\left ( 1+a^{2} \right )\left ( 1+b^{2} \right )}]$ Lời giải Đề bài: Chứng minh rằng:$\left ( \sin x +a\cos x\right )\left ( \sin x +b\cos x\right )\leq \frac{1}{2}[1+ab+\sqrt{\left ( 1+a^{2} \right )\left ( 1+b^{2} \right )}]$ Lời […]
Đề bài: Chứng tỏ rằng: $ x^2 – 6x + 5 \ge – 4 \forall x $
Đề bài: Chứng tỏ rằng: $ x^2 – 6x + 5 \ge – 4 \forall x $ Lời giải Ta có: $ {x^2} – 6x + 5 = {\left( {x – 3} \right)^2} – 4 \ge – 4,\forall x $ Dấu “=” xảy ra $ \Leftrightarrow x = 3 $ ========= Chuyên mục: […]
Đề bài: Cho \(a>0\). Chứng minh rằng: \(\sqrt{a}+\sqrt{a+2}<2\sqrt{a+1}\) (1)
Đề bài: Cho \(a>0\). Chứng minh rằng: \(\sqrt{a}+\sqrt{a+2}<2\sqrt{a+1}\) (1) Lời giải Ta có: (1) \(\Leftrightarrow (\sqrt{a}+\sqrt{a+2})^{2}\leq 4(a+1)\)\(\Leftrightarrow a+a+2+2\sqrt{a(a+2)}\leq 4(a+1)\)\(\Leftrightarrow 2\sqrt{a(a+2)}\leq 2(a+1) \\\Leftrightarrow \sqrt{a(a+2)}\leq a+1\)\(\Leftrightarrow a(a+2)\leq (a+1)^{2} \\\Leftrightarrow 2a+a^{2}\leq a^{2}+2a+1\)\(\Leftrightarrow 0\leq 1\) đúng\(\Rightarrow \)đpcm.Dấu bằng không xảy ra. ========= Chuyên mục: Bất đẳng thức cơ bản
Đề bài: Chứng minh bất đẳng thức:a) $|x-1|+|5-x| \geq 4 b)|x-1|-|x+6| \leq 7 $c)$|x-y|+|y-z|+|z-t|\geq |x-t| d) |x+5|+|x-2|+|x-3|\geq 8$
Đề bài: Chứng minh bất đẳng thức:a) $|x-1|+|5-x| \geq 4 b)|x-1|-|x+6| \leq 7 $c)$|x-y|+|y-z|+|z-t|\geq |x-t| d) |x+5|+|x-2|+|x-3|\geq 8$ Lời giải hướng dẫn: dùng bất đẳng thức giá trị tuyệt đốiThêm lời giải chi tiết […]
Đề bài: Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z\geq 3$.Chứng minh : $ \frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{z}}+\frac{z}{\sqrt{x}}\geq 3$.
Đề bài: Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z\geq 3$.Chứng minh : $ \frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{z}}+\frac{z}{\sqrt{x}}\geq 3$. Lời giải Đề bài: Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z\geq 3$.Chứng minh : $ \frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{z}}+\frac{z}{\sqrt{x}}\geq 3$. Lời giải Cần lời giải chi tiết. ========= Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi