Đề bài: Cho $a,b,c\in R$.Chứng minh $\frac{|a-c|}{\sqrt{1+a^2}\sqrt{1+c^2}}\leq \frac{|a-b|}{\sqrt{1+a^2}\sqrt{1+b^2}}+\frac{|b-c|}{\sqrt{1+b^2}\sqrt{1+c^2}}$. Lời giải Đề bài: Cho $a,b,c\in R$.Chứng minh $\frac{|a-c|}{\sqrt{1+a^2}\sqrt{1+c^2}}\leq \frac{|a-b|}{\sqrt{1+a^2}\sqrt{1+b^2}}+\frac{|b-c|}{\sqrt{1+b^2}\sqrt{1+c^2}}$. Lời giải Đặt: $a=\tan \alpha, b= \tan \beta, c=\tan \gamma $Ta có: $\frac{|a-c|}{\sqrt{a^2+1}. \sqrt{c^2+1} }=\frac{|\tan \alpha – \tan \gamma |}{\frac{1}{|\cos \alpha |}.\frac{1}{|\cos \gamma |} } = |\sin \alpha .\cos \gamma – \cos \alpha . \sin \gamma | […]
Bất đẳng thức Côsi
Đề bài: Cho \(a,b,c>0\). Chứng minh rằng: \(\frac{a+b}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b+c}{b^{2}+c^{2}}+\frac{a+c}{a^{2}+c^{2}}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Đề bài: Cho \(a,b,c>0\). Chứng minh rằng: \(\frac{a+b}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b+c}{b^{2}+c^{2}}+\frac{a+c}{a^{2}+c^{2}}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) Lời giải Đề bài: Cho \(a,b,c>0\). Chứng minh rằng: \(\frac{a+b}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b+c}{b^{2}+c^{2}}+\frac{a+c}{a^{2}+c^{2}}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) Lời giải Áp dụng BĐT Cauchy, ta có: \(\frac{a+b}{a^{2}+b^{2}}=\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\leq \frac{a}{2ab}+\frac{b}{2ba}\) \(\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\)Tương tự: \(\frac{b+c}{c^{2}+b^{2}}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\)\(\frac{a+c}{a^{2}+c^{2}}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{c}+\frac{1}{a})\)Cộng ba bất đẳng thức trên vế theo vế ta có:\(\frac{a+b}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b+c}{b^{2}+c^{2}}+\frac{a+c}{a^{2}+c^{2}}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) (đpcm).Dấu = xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$ ========= […]
Đề bài: Cho $\Delta ABC$, diện tích bằng $S$, các đường cao $h_a, h_b, h_c$. Chứng minh rằng $\Delta ABC$ đều khi và chỉ khi: $S=\frac{1}{6}(a.h_b+b.h_c+c.h_a) $
Đề bài: Cho $\Delta ABC$, diện tích bằng $S$, các đường cao $h_a, h_b, h_c$. Chứng minh rằng $\Delta ABC$ đều khi và chỉ khi: $S=\frac{1}{6}(a.h_b+b.h_c+c.h_a) $ Lời giải Đề bài: Cho $\Delta ABC$, diện tích bằng $S$, các đường cao $h_a, h_b, h_c$. Chứng minh rằng $\Delta ABC$ đều khi và chỉ khi: $S=\frac{1}{6}(a.h_b+b.h_c+c.h_a) […]
Đề bài: $1.$ Tìm $x, y$ nguyên dương thỏa mãn phương trình: $3x + 5y = 26$.$2.$ Cho $a, b, c > 0$. Chứng minh rằng: $(a + b + c)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 9$
Đề bài: $1.$ Tìm $x, y$ nguyên dương thỏa mãn phương trình: $3x + 5y = 26$.$2.$ Cho $a, b, c > 0$. Chứng minh rằng: $(a + b + c)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 9$ Lời giải Đề bài: $1.$ Tìm $x, y$ nguyên dương thỏa mãn phương trình: $3x + […]
Đề bài: Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: $ab(a+b-2c)+bc(b+c-2a)+ca(c+a-2b)\geq 0$
Đề bài: Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: $ab(a+b-2c)+bc(b+c-2a)+ca(c+a-2b)\geq 0$ Lời giải Đề bài: Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: $ab(a+b-2c)+bc(b+c-2a)+ca(c+a-2b)\geq 0$ Lời giải Biến đổi bất đẳng thức về dạng: $ \displaystyle \frac{a+b-2c}{c}+\frac{b+c-2a}{a}+\frac{c+a-2b}{b}\geq 0$. $ \displaystyle \Leftrightarrow \frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{b} \geq 6$.Áp dụng bất […]
Đề bài: Cho $n$ số dương $x_{1},x_{2},…,x_{n}(n \geq 2)$ thỏa mãn: $x_{1}+x_{2}+…+x_{n}=1$Tìm giá trị lớn nhất của S: $S=x^{a_{1}}_{1}.x^{a_{2}}_{2}…x^{a_{n}}_{n} $Trong đó: $a_{1},a_{2},…,a_{n}$ là $n$ số dương cho trước.
Đề bài: Cho $n$ số dương $x_{1},x_{2},…,x_{n}(n \geq 2)$ thỏa mãn: $x_{1}+x_{2}+…+x_{n}=1$Tìm giá trị lớn nhất của S: $S=x^{a_{1}}_{1}.x^{a_{2}}_{2}…x^{a_{n}}_{n} $Trong đó: $a_{1},a_{2},…,a_{n}$ là $n$ số dương cho trước. Lời giải Đề bài: Cho $n$ số dương $x_{1},x_{2},…,x_{n}(n \geq 2)$ thỏa mãn: $x_{1}+x_{2}+…+x_{n}=1$Tìm giá trị lớn nhất của S: $S=x^{a_{1}}_{1}.x^{a_{2}}_{2}…x^{a_{n}}_{n} $Trong đó: $a_{1},a_{2},…,a_{n}$ là $n$ số […]
Đề bài: Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn: $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\geq 2$Tìm giá trị lớn nhất của $P=xyz$
Đề bài: Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn: $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\geq 2$Tìm giá trị lớn nhất của $P=xyz$ Lời giải Đề bài: Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn: $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\geq 2$Tìm giá trị lớn nhất của $P=xyz$ Lời giải Ta có: $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\geq 2$$\Leftrightarrow \left ( 1+x \right ) \left ( 1+y \right )+ \left ( 1+y \right ) \left ( 1+z \right […]
Đề bài: Cho $x,y,z>0 $ và $\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=1$. Chứng minh rằng: $S=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\geq \frac{1}{2}$.
Đề bài: Cho $x,y,z>0 $ và $\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=1$. Chứng minh rằng: $S=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\geq \frac{1}{2}$. Lời giải Đề bài: Cho $x,y,z>0 $ và $\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=1$. Chứng minh rằng: $S=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\geq \frac{1}{2}$. Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:$\frac{x^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\geq x (1); \frac{y^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\geq y (2); \frac{z^2}{z+x}+\frac{z+x}{4}\geq z (3) $.Cộng từng vế $(1),(2),(3)$ và có: $S\geq \frac{x+y+z}{2} (4)$Lại áp dụng […]
Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất của: \(f(x,y)=(1-x)\sqrt{(x-y+1)(x+y)} ; ( -x\leq y\leq x+1)\)
Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất của: \(f(x,y)=(1-x)\sqrt{(x-y+1)(x+y)} ; ( -x\leq y\leq x+1)\) Lời giải Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất của: \(f(x,y)=(1-x)\sqrt{(x-y+1)(x+y)} ; ( -x\leq y\leq x+1)\) Lời giải _Nếu \(x\geq 1\) thì \(f(x,y)\leq 0 \Rightarrow f(x,y)\) lớn nhất là \(0\).(1)Khi \(x=-y\) hoặc \(x+1=y; x>1\)_Mặt khác do: \(-x\leq y\leq x+1 […]
Đề bài: Giả sử $x,y,z > 0$, chứng minh $\frac{1}{x^2+yz} + \frac{1}{y^2 + xz} + \frac{1}{z^2+ xy}\le \frac{x+y+z}{2xyz} (1)$
Đề bài: Giả sử $x,y,z > 0$, chứng minh $\frac{1}{x^2+yz} + \frac{1}{y^2 + xz} + \frac{1}{z^2+ xy}\le \frac{x+y+z}{2xyz} (1)$ Lời giải Đề bài: Giả sử $x,y,z > 0$, chứng minh $\frac{1}{x^2+yz} + \frac{1}{y^2 + xz} + \frac{1}{z^2+ xy}\le \frac{x+y+z}{2xyz} (1)$ Lời giải Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương :$ x^2 + […]