Bất đẳng thức Côsi

Đề bài: Cho ba số dương $x,y,z$ và $xyz=1$.Chứng minh $\frac{x^2}{x+y+y^3z}+\frac{y^2}{y+z+z^3x}+\frac{z^2}{z+x+x^3y}\geq 1$. Lời giải Đề bài: Cho ba số dương $x,y,z$ và $xyz=1$.Chứng minh $\frac{x^2}{x+y+y^3z}+\frac{y^2}{y+z+z^3x}+\frac{z^2}{z+x+x^3y}\geq 1$. Lời giải Cần lời giải chi tiết. ========= Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi

Đề bài: Cho \(a,b>0\). Chứng minh rằng:  \(\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b}{b^{2}+c^{2}}+\frac{c}{a^{2}+c^{2}}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\) Lời giải Đề bài: Cho \(a,b>0\). Chứng minh rằng:  \(\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b}{b^{2}+c^{2}}+\frac{c}{a^{2}+c^{2}}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\) Lời giải Ta có: \(\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\leq \frac{a}{2ab}=\frac{1}{2b}\) vì theo BĐT Cauchy: \(a^{2}+b^{2}\geq 2ab\). Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a=b$Tương tự: \(\frac{b}{b^{2}+c^{2}}\leq \frac{b}{2bc}=\frac{1}{2c}\). Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow b=c$ \(\frac{c}{a^{2}+c^{2}}\leq \frac{c}{2ac}=\frac{1}{2a}\) Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow c=a$ Cộng ba […]

Đề bài: Cho $x, y, z>0,    x+y+x=\pi$.  Chứng minh:    $\sin\frac{x}{2}\sin\frac{y}{2}\sin\frac{z}{2}\leq\frac{1}{8}$ Lời giải Đề bài: Cho $x, y, z>0,    x+y+x=\pi$.  Chứng minh:    $\sin\frac{x}{2}\sin\frac{y}{2}\sin\frac{z}{2}\leq\frac{1}{8}$ Lời giải                                    GiảiTừ giả thiết cho thấy, $x, y, z$ là 3 góc của một tam […]

Đề bài: Cho $a, b$ dương. chứng minh :a) $(a+b)(1+ab)\geq 4ab$                                                    b)$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}   $ Lời giải Đề bài: Cho $a, b$ dương. chứng minh :a) $(a+b)(1+ab)\geq 4ab$                                                    b)$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}   $ Lời giải a) áp dụng BĐT COsi cho 2 số dương:$a+b\geq 2 \sqrt{ab}, 1+ab\geq 2 \sqrt{1.ab}  $Vì 2 vế trái dương nên $(a+b)(1+ab)\geq […]

Đề bài: Cho $a,b>0, m\in N^*$. Chứng minh rằng:     $(1+\frac{a}{b})^m+(1+\frac{b}{a})^m\geq 2^{m+1}$ Lời giải Đề bài: Cho $a,b>0, m\in N^*$. Chứng minh rằng:     $(1+\frac{a}{b})^m+(1+\frac{b}{a})^m\geq 2^{m+1}$ Lời giải Ta có:      $ \displaystyle 1+\frac{a}{b}\geq 2\sqrt{\frac{a}{b}}\Leftrightarrow (1+\frac{a}{b})^m\geq 2^m\sqrt{(\frac{a}{b})^m}$,     $ \displaystyle 1+\frac{b}{a}\geq 2\sqrt{\frac{b}{a}}\Leftrightarrow (1+\frac{b}{a})^m\geq 2^m\sqrt{(\frac{b}{a})^m}$,Suy ra:     $ \displaystyle (1+\frac{a}{b})^m+(1+\frac{b}{a})^m\geq 2^m\sqrt{(\frac{a}{b})^m}+ 2^m\sqrt{(\frac{b}{a})^m}$                                                  $ \displaystyle \geq 2.\sqrt{2^m.\sqrt{(\frac{a}{b})^m}.2^m.\sqrt{(\frac{b}{a})^m}}=2^{m+1}$.Dấu đẳng thức xảy ra khi:    $ \displaystyle \begin{cases}1=\frac{a}{b}=\frac{b}{a} \\ […]

Đề bài: Cho $a_{i},b_{i},c_{i}>0(i=1,2,3…,n)$$A=\sum\limits_{i=1}^n a_{i}, B=\sum\limits_{i=1}^n b_{i},C=\sum\limits_{i=1}^n c_{i}$Chứng minh rằng:$ Min(a_{1}b_{1}c_{1},a_{2}b_{2}c_{2},…,a_{n}b_{n}c_{n})\leq \frac{ABC}{n^{3}}$ Lời giải Đề bài: Cho $a_{i},b_{i},c_{i}>0(i=1,2,3…,n)$$A=\sum\limits_{i=1}^n a_{i}, B=\sum\limits_{i=1}^n b_{i},C=\sum\limits_{i=1}^n c_{i}$Chứng minh rằng:$ Min(a_{1}b_{1}c_{1},a_{2}b_{2}c_{2},…,a_{n}b_{n}c_{n})\leq \frac{ABC}{n^{3}}$ Lời giải Đặt: $m=Min(a_{1}b_{1}c_{1},a_{2}b_{2}c_{2},…,a_{n}b_{n}c_{n})$$\Rightarrow m^n\leq a_{1}b_{1}c_{1}.a_{2}b_{2}c_{2}….a_{n}b_{n}c_{n}$vì $ a_i, b_i, c_i > 0 (\forall i=1, 2, …, n)$Theo BĐT Cauchy:$A\geq n\sqrt[n]{a_{1}a_{2}…a_{n}}$$B\geq n\sqrt[n]{b_{1}b_{2}…b_{n}}$$C\geq n\sqrt[n]{c_{1}c_{2}…c_{n}}$$\Rightarrow ABC\geq n^{3}\sqrt[n]{(a_{1}b_{1}c_{1}).(a_{2}b_{2}c_{2})….(a_{n}b_{n}c_{n})})\geq n^{3}\sqrt[n]{m^{n}}=n^{3}.m$$m\leq \frac{ABC}{n^{3}}$ (ĐPCM) ========= Chuyên […]

Đề bài: Cho $2$  số dương $a,b$ thỏa mãn: $\frac{a}{x}+\frac{b}{y}=1$ với $a,y>0$.Tìm $x,y$ để:$S=x+y$ nhỏ nhất ( tính theo $a,b$) Lời giải Đề bài: Cho $2$  số dương $a,b$ thỏa mãn: $\frac{a}{x}+\frac{b}{y}=1$ với $a,y>0$.Tìm $x,y$ để:$S=x+y$ nhỏ nhất ( tính theo $a,b$) Lời giải Ta có: $S=x+y=\left ( \frac{a}{x}+\frac{b}{y} \right )\left ( x+y \right )=a+b+\left […]

Đề bài: Cho $a,b,c\in R$.Chứng minh $\frac{|a-c|}{\sqrt{1+a^2}\sqrt{1+c^2}}\leq \frac{|a-b|}{\sqrt{1+a^2}\sqrt{1+b^2}}+\frac{|b-c|}{\sqrt{1+b^2}\sqrt{1+c^2}}$. Lời giải Đề bài: Cho $a,b,c\in R$.Chứng minh $\frac{|a-c|}{\sqrt{1+a^2}\sqrt{1+c^2}}\leq \frac{|a-b|}{\sqrt{1+a^2}\sqrt{1+b^2}}+\frac{|b-c|}{\sqrt{1+b^2}\sqrt{1+c^2}}$. Lời giải Đặt: $a=\tan \alpha, b= \tan \beta, c=\tan \gamma $Ta có: $\frac{|a-c|}{\sqrt{a^2+1}. \sqrt{c^2+1}  }=\frac{|\tan \alpha – \tan \gamma |}{\frac{1}{|\cos \alpha |}.\frac{1}{|\cos \gamma |}  } = |\sin \alpha .\cos \gamma – \cos \alpha . \sin \gamma | […]

Đề bài: Cho \(a,b,c>0\). Chứng minh rằng:  \(\frac{a+b}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b+c}{b^{2}+c^{2}}+\frac{a+c}{a^{2}+c^{2}}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) Lời giải Đề bài: Cho \(a,b,c>0\). Chứng minh rằng:  \(\frac{a+b}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b+c}{b^{2}+c^{2}}+\frac{a+c}{a^{2}+c^{2}}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) Lời giải Áp dụng BĐT Cauchy, ta có: \(\frac{a+b}{a^{2}+b^{2}}=\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\leq \frac{a}{2ab}+\frac{b}{2ba}\) \(\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\)Tương tự: \(\frac{b+c}{c^{2}+b^{2}}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\)\(\frac{a+c}{a^{2}+c^{2}}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{c}+\frac{1}{a})\)Cộng ba bất đẳng thức trên vế theo vế ta có:\(\frac{a+b}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b+c}{b^{2}+c^{2}}+\frac{a+c}{a^{2}+c^{2}}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) (đpcm).Dấu = xảy ra khi và chỉ khi  $a=b=c$ ========= […]

Đề bài: Cho $\Delta ABC$, diện tích bằng $S$, các đường cao $h_a, h_b, h_c$. Chứng minh rằng $\Delta ABC$ đều khi và chỉ khi:  $S=\frac{1}{6}(a.h_b+b.h_c+c.h_a) $ Lời giải Đề bài: Cho $\Delta ABC$, diện tích bằng $S$, các đường cao $h_a, h_b, h_c$. Chứng minh rằng $\Delta ABC$ đều khi và chỉ khi:  $S=\frac{1}{6}(a.h_b+b.h_c+c.h_a) […]