Đề bài: Cho $x\geq 2, y\geq 3, z\geq 4$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:                      $P=\frac{xy\sqrt{z-4}+yz\sqrt{x-2}+zx\sqrt{y-3}}{xyz}$.

Lời giải

Đề bài:
Cho $x\geq 2, y\geq 3, z\geq 4$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:                      $P=\frac{xy\sqrt{z-4}+yz\sqrt{x-2}+zx\sqrt{y-3}}{xyz}$.
Lời giải

Ta có:    $P=\frac{xy\sqrt{z-4}+yz\sqrt{x-2}+zx\sqrt{y-3}}{xyz}    (1)$.
 Bằng cách thêm bớt hằng số và sử dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:
 $\sqrt{(z-4)4}\leq \frac{z-4+4}{2}\Rightarrow \frac{\sqrt{z-4}}{z}\leq \frac{1}{4}$
  $\sqrt{(x-2)2}\leq \frac{(x-2)+2}{2}\Rightarrow \frac{\sqrt{x-2}}{x}\leq \frac{1}{2\sqrt{2}}$
 $\sqrt{(y-3)3}\leq \frac{(y-3)+3}{2}\Rightarrow \frac{\sqrt{y-3}}{y}\leq \frac{1}{2\sqrt{3}}$
 Từ đó suy ra : $P\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{2})   (2)$
 Dấu $”=”$ trong $(2)$ xảy ra $\Leftrightarrow x=4;y=6;z=8$.
 Vậy $\max P=\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{2}) $.

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi