Lời giải
Đề bài:
Cho $x,y,z,t>0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:$P=\frac{x-t}{t+y}+\frac{t-y}{y+z}+\frac{y-z}{z+x}+\frac{z-x}{x+t}$.
Lời giải
Ta có: $P=(\frac{x-t}{t+y}+1)+(\frac{t-y}{y+z}+1)+(\frac{y-z}{z+x}+1)+(\frac{z-x}{x+t}+1)-4$
$=\frac{x+y}{t+y}+\frac{t+z}{y+z}+\frac{y+x}{z+x}+\frac{t+z}{x+t}-4$
$=(x+y)(\frac{1}{t+y}+\frac{1}{z+x})+(z+t)(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+t})-4 (1)$
Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:
$\frac{1}{t+x}+\frac{1}{z+x}\geq \frac{4}{x+y+z+t}; \frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+t}\geq \frac{4}{x+y+z+t}$
Thay vào $(1)$ ta có: $P\geq 4\frac{(x+y)+(z+t)}{x+y+z+t}-4\Rightarrow P\geq 0$
Vậy $P\geq 0$. Mặt khác chẳng hạn khi $x=y=z=t$ thì $P=0$. Do đó $P_{ \min}=0$.
=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi
Trả lời