Đề bài: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:  \(f(x)=x+\frac{1}{x-1}\) với \(x>1\)

Lời giải

Đề bài:
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:  \(f(x)=x+\frac{1}{x-1}\) với \(x>1\)
Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \((x-1)\) và \(\frac{1}{x-1}\)
Ta có: \((x-1)+\frac{1}{x-1}\geq 2\sqrt{(x-1).\frac{1}{(x-1)}}=2\)
Ta có: \(f(x)=x+\frac{1}{x-1}=x-1+\frac{1}{x-1}+1 \Rightarrow f(x)\geq 2+1=3\)
\ Vậy (f(x)\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(3\) khi \(x=2\) (khi \(\frac{1}{x-1}=x-1\))

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi