• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Toán
  • Trắc nghiệm Toán 12
  • Máy tính

Đề bài:  Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $x^2+y^2+z^2 \leq 1$Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $Q=xy+yz+2zx$

Đăng ngày: 11/07/2021 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức Côsi

adsense
Đề bài:  Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $x^2+y^2+z^2 \leq 1$Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $Q=xy+yz+2zx$

Bat dang thuc

Lời giải

Đề bài:
 Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $x^2+y^2+z^2 \leq 1$Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $Q=xy+yz+2zx$
Lời giải

adsense

Với $\forall a \neq 0$ ta có $Q=ay.\frac{x+y}{a}+2zx \leq \frac{a^2y^2+(\frac{x+z}{a})^2}{2}+x^2+z^2$
$\Rightarrow Q \leq \frac{a^2y^2+\frac{2(x^2+y^2)}{a^2} }{2}+x^2+z^2=\frac{a^2}{2}y+(1+\frac{1}{a^2})(x^2+z^2)       (1)$
Ta chọn $a \neq 0$ sao cho $\frac{a^2}{2}=1+\frac{1}{a^2} \Leftrightarrow  a^4-2a^2-2=0 \Leftrightarrow  a^2=1+\sqrt{3}$
Khi đó $(1)$ trở thành $Q \leq \frac{1+\sqrt{3}}{2}(x^2+y^2+z^2) \leq \frac{1+\sqrt{3}}{2} \Rightarrow Q \leq \frac{1+\sqrt{3}}{2}    (2)$
Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi
$\left\{ \begin{array}{l} ay=\frac{x+z}{a} \\ x=z \\ x^2+y^2+z^2=1\end{array} \right.\Leftrightarrow  \left\{ \begin{array}{l} x=z=\frac{a^2}{2}y \\ (1+\frac{a^2}{2})y^2=1  \end{array} \right.\Leftrightarrow  \left\{ \begin{array}{l} x=z=\frac{1+\sqrt{3}}{2}y \\ y^2=\frac{1}{3+\sqrt{3}}  \end{array} \right.  $
$\Leftrightarrow  \left\{ \begin{array}{l} x=z=\frac{\sqrt{3(1+\sqrt{3})}}{6} \\ y=\frac{1}{\sqrt{3+\sqrt{3}}}  \end{array} \right.$ và $\left\{ \begin{array}{l} x=z=-\frac{\sqrt{3(1+\sqrt{3})}}{6} \\ y=\frac{-1}{\sqrt{3+\sqrt{3}}}  \end{array} \right.         (3)$
Vậy $\max Q=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$. Chân trị của $\max$ được xác định trong $(3)$   

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi

Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức Côsi

Bài liên quan:

  1. Đề bài: Cho $x,y,z>0;  xyz=1$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P=\frac{1}{x^2+2y^2+3}+\frac{1}{y^2+2z^2+3}+\frac{1}{z^2+2x^2+3}$.
  2. Đề bài: Cho \(xy=4 (x>0, y>0)\). Tìm giá trị nhỏ nhất của:1)    \(x^{2}+y^{2}\)2)    \(x^{4}+y^{4}\)3)    \((x+1)(4y+3)\)
  3. Đề bài: $a,b,c$ là $3$ số khác $0$. Chứng minh rằng $\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{c^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{a^2}}} \ge \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$
  4. Đề bài: Chứng minh rằng : $abc(a+b)(b+c)(c+a)\leq \frac{8}{729}$. Trong đó $a,b,c $ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=1$
  5. Đề bài: Với $a,b,c>0$ và $a+b+c\leq 1$ chứng minh rằng:     $\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\geq 9$.
  6. Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất của:$y=\sin^{2} x.\cos ^{6}x$
  7. Đề bài: Chứng minh rằng với mọi $x, y$ dương ta có:  \({x^2} + {y^2} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge 2\left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)\)
  8. Đề bài: Dùng bất đẳng thức Cô-si, tìm GTNN:a)$y=x+\frac{3}{x}; (x>0) $                                               b) GTNN $y=x+\frac{2}{x-3}; (x>3) $c) $y=5^{x+1}+5^{x-2} $                                                d) $y=\frac{2 x^{2}+3x+7 }{x} . (x>0)$
  9. Đề bài: Cho $x,y>0; x+y
  10. Đề bài: Chứng minh rằng: \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\geq a+b+c\) với \(a,b,c\geq 0\).
  11. Đề bài: Phân tích số $16$ thành tổng của $2$ số dương sao cho tổng bình phương của chúng là nhỏ nhất.
  12. Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số thực $a,b$ thỏa mãn $a\geq \frac{1}{2}, a>b$.  Ta có: $\frac{2a^3+1}{4b(a-b)}\geq 3$
  13. Đề bài: Cho $a,b,c,k$ là các số nguyên dương, $k\geq \frac{2}{3}$. Chứng minh rằng:     $(\frac{a}{b+c})^k+(\frac{b}{c+a})^k+(\frac{c}{a+b})^k\geq \frac{3}{2^k}        (1)$
  14. Đề bài: Cho $n\in Z,n\geq 2.$Chứng minh rằng:$\sqrt[n]{1+\frac{\sqrt[n]{n}}{n}}+\sqrt[n]{1-\frac{\sqrt[n]{n}}{n}}
  15. Đề bài: $1.$ Cho hình thang cân $ABCD$ có đáy là $AD, BC$, $\widehat {BAD} = {30^0}$. Biết  $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow {a} ,\overrightarrow {AD}  =\overrightarrow {b} .$Hãy biểu diễn các véctơ $\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CD},\overrightarrow {AC}  ,\overrightarrow {BD} $ theo các véctơ $\overrightarrow {a},\overrightarrow {b}  .$$2.$ Chứng minh rằng $\forall  \in (0;\frac{\pi}{2} )$ đều có$cosx +sinx +tanx+cotx+\frac{1}{sinx }+\frac{1}{cosx } >6$

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC




Booktoan.com (2015 - 2023) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.