Đề bài:  Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $x^2+y^2+z^2 \leq 1$Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $Q=xy+yz+2zx$

Lời giải

Đề bài:
 Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $x^2+y^2+z^2 \leq 1$Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $Q=xy+yz+2zx$
Lời giải

Với $\forall a \neq 0$ ta có $Q=ay.\frac{x+y}{a}+2zx \leq \frac{a^2y^2+(\frac{x+z}{a})^2}{2}+x^2+z^2$
$\Rightarrow Q \leq \frac{a^2y^2+\frac{2(x^2+y^2)}{a^2} }{2}+x^2+z^2=\frac{a^2}{2}y+(1+\frac{1}{a^2})(x^2+z^2)       (1)$
Ta chọn $a \neq 0$ sao cho $\frac{a^2}{2}=1+\frac{1}{a^2} \Leftrightarrow  a^4-2a^2-2=0 \Leftrightarrow  a^2=1+\sqrt{3}$
Khi đó $(1)$ trở thành $Q \leq \frac{1+\sqrt{3}}{2}(x^2+y^2+z^2) \leq \frac{1+\sqrt{3}}{2} \Rightarrow Q \leq \frac{1+\sqrt{3}}{2}    (2)$
Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi
$\left\{ \begin{array}{l} ay=\frac{x+z}{a} \\ x=z \\ x^2+y^2+z^2=1\end{array} \right.\Leftrightarrow  \left\{ \begin{array}{l} x=z=\frac{a^2}{2}y \\ (1+\frac{a^2}{2})y^2=1  \end{array} \right.\Leftrightarrow  \left\{ \begin{array}{l} x=z=\frac{1+\sqrt{3}}{2}y \\ y^2=\frac{1}{3+\sqrt{3}}  \end{array} \right.  $
$\Leftrightarrow  \left\{ \begin{array}{l} x=z=\frac{\sqrt{3(1+\sqrt{3})}}{6} \\ y=\frac{1}{\sqrt{3+\sqrt{3}}}  \end{array} \right.$ và $\left\{ \begin{array}{l} x=z=-\frac{\sqrt{3(1+\sqrt{3})}}{6} \\ y=\frac{-1}{\sqrt{3+\sqrt{3}}}  \end{array} \right.         (3)$
Vậy $\max Q=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$. Chân trị của $\max$ được xác định trong $(3)$   

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi