Đề bài: Cho $x,y,z>0 $ và $\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=1$. Chứng minh rằng:         $S=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\geq \frac{1}{2}$.

Lời giải

Đề bài:
Cho $x,y,z>0 $ và $\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=1$. Chứng minh rằng:         $S=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\geq \frac{1}{2}$.
Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
$\frac{x^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\geq x   (1);    \frac{y^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\geq y (2);    \frac{z^2}{z+x}+\frac{z+x}{4}\geq z  (3) $.
Cộng từng vế $(1),(2),(3)$ và có: $S\geq \frac{x+y+z}{2}  (4)$
Lại áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:
$x+y\geq 2\sqrt{xy}; y+z\geq \sqrt{yz}; z+x\geq 2\sqrt{zx}$
Từ đó suy ra:  $2(x+y+z) \geq 2(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx})\Rightarrow 
x+y+z \geq \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=1 (5)$
Từ $(4),(5)$ suy ra $S\geq \frac{1}{2}\Rightarrow$đpcm. Dấu bằng xảy ra $ \Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}$.

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi