Đề bài: Chứng minh rằng : $abc(a+b)(b+c)(c+a)\leq \frac{8}{729}$. Trong đó $a,b,c $ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=1$

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh rằng : $abc(a+b)(b+c)(c+a)\leq \frac{8}{729}$. Trong đó $a,b,c $ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=1$
Lời giải

Ta có:
$
\displaystyle abc(a+b)(b+c)(c+a)\leq (\frac{a+b+c}{3})^3.[\frac{(a+b)+(b+c)+(c+a)}{3}]^3=\frac{1}{27}.\frac{8}{27}=\frac{8}{729}$, đpcm.
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
    $
\displaystyle \Leftrightarrow\begin{cases} a+b+c=1\\ a=b=c \end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi