Đề bài: $1.$ Cho hình thang cân $ABCD$ có đáy là $AD, BC$, $\widehat {BAD} = {30^0}$. Biết  $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow {a} ,\overrightarrow {AD}  =\overrightarrow {b} .$Hãy biểu diễn các véctơ $\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CD},\overrightarrow {AC}  ,\overrightarrow {BD} $ theo các véctơ $\overrightarrow {a},\overrightarrow {b}  .$$2.$ Chứng minh rằng $\forall  \in (0;\frac{\pi}{2} )$ đều có$cosx +sinx +tanx+cotx+\frac{1}{sinx }+\frac{1}{cosx } >6$

Lời giải

Đề bài:
$1.$ Cho hình thang cân $ABCD$ có đáy là $AD, BC$, $\widehat {BAD} = {30^0}$. Biết  $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow {a} ,\overrightarrow {AD}  =\overrightarrow {b} .$Hãy biểu diễn các véctơ $\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CD},\overrightarrow {AC}  ,\overrightarrow {BD} $ theo các véctơ $\overrightarrow {a},\overrightarrow {b}  .$$2.$ Chứng minh rằng $\forall  \in (0;\frac{\pi}{2} )$ đều có$cosx +sinx +tanx+cotx+\frac{1}{sinx }+\frac{1}{cosx } >6$
Lời giải

$1. a.$ $\overrightarrow {BD} =\overrightarrow {BA} +\overrightarrow {AD} =-\overrightarrow {AB} +\overrightarrow {AD} =\overrightarrow {b} -\overrightarrow {a} $
$b.$  Kẻ $CE//AB$ (hình vẽ). Ta có $ED=EC.\sqrt{3} =AB.\sqrt{3} =|\overrightarrow {a} |.\sqrt{3} $
$AE=AD-ED=|\overrightarrow {b} |-|\overrightarrow {a} |.\sqrt{3} $
$\Rightarrow  \overrightarrow {BC} =\overrightarrow {AE}=\frac{|\overrightarrow {b} |-|\overrightarrow {a} |\sqrt{3} }{|\overrightarrow {b} |} .\overrightarrow {b}  $
$c.$ $\overrightarrow {CD} =\overrightarrow {CB} +\overrightarrow {BA}+\overrightarrow {AD}  =\frac{|\overrightarrow {a} |.\sqrt{3}-|\overrightarrow {b} | }{|\overrightarrow {b} |} .\overrightarrow {b} -\overrightarrow {a} +\overrightarrow {b} $
$\Rightarrow  \overrightarrow {CD} =\frac{|\overrightarrow {a} |\sqrt{3} }{|\overrightarrow {b} |} .\overrightarrow {b} -\overrightarrow {a} $
$d.$ $\overrightarrow {AC} =\overrightarrow {AB} +\overrightarrow {BC} =a\frac{|\overrightarrow {b} |-|\overrightarrow {a} |\sqrt{3} }{|\overrightarrow {b} |} .\overrightarrow {b} $
$2.$ Theo Côsi $tanx+cotx\geq  2,\forall  x\in (0,\frac{\pi}{2} )$
đẳng thức $\Leftrightarrow  tanx=cotx=1$
$cosx +sinx +\frac{1}{sinx } +\frac{1}{cosx } \geq  1,\forall  x\in (0,\frac{\pi}{2} )$, đẳng thức
$\Leftrightarrow  cosx =sinx =\frac{1}{sinx }=\frac{1}{cosx }=1\Leftrightarrow  cosx =sinx =1  $ (không xảy ra)
Do đó
$cosx +sinx +tanx+cotx+\frac{1}{sinx }+\frac{1}{cosx }>6,\forall  x\in(0,\frac{\pi}{2} )  $

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi