Đề bài: Cho $a,b,c$  dương thay đổi. Chứng minh:     $\left ( \frac{a}{b}  \right )^ \frac{3}{2}+\left ( \frac{b}{c}  \right )^ \frac{3}{2} +\left ( \frac{c}{a}  \right )^ \frac{3}{2} \geq  \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}   $

Lời giải

Đề bài:
Cho $a,b,c$  dương thay đổi. Chứng minh:     $\left ( \frac{a}{b}  \right )^ \frac{3}{2}+\left ( \frac{b}{c}  \right )^ \frac{3}{2} +\left ( \frac{c}{a}  \right )^ \frac{3}{2} \geq  \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}   $
Lời giải

* Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
$\left ( \frac{a}{b}  \right )^ \frac{3}{2} +\left ( \frac{a}{b}  \right
)^ \frac{3}{2} +1\geq  3 \frac{a}{b}\Leftrightarrow 
\left ( \frac{a}{b}  \right )^ \frac{3}{2} \geq  
\frac{3}{2}.\frac{a}{b}-\frac{1}{2}    $    
Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi $\left ( \frac{a}{b}  \right )^ \frac{3}{2}=1 \Leftrightarrow  a=b$
Tương tự với các số còn lại suy ra:
   $\left ( \frac{a}{b}  \right )^ \frac{3}{2}+\left ( \frac{b}{c}  \right )^ \frac{3}{2}+\left ( \frac{c}{a}  \right )^ \frac{3}{2} \geq \frac{3}{2}(\frac{a}{b} +\frac{b}{c}+\frac{c}{a})-\frac{3}{2}\\=(\frac{a}{b} +\frac{b}{c}+\frac{c}{a})+ \frac{1}{2}(\frac{a}{b} +\frac{b}{c}+\frac{c}{a})-\frac{3}{2}$
Theo Cô-si $\frac{1}{2}(\frac{a}{b} +\frac{b}{c}+\frac{c}{a}) \geq \frac{3}{2} \sqrt{\frac{a}{b} .\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}=\frac{3}{2} \Leftrightarrow  \frac{1}{2}(\frac{a}{b} +\frac{b}{c}+\frac{c}{a})-\frac{3}{2} \geq 0$
Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi $\frac{a}{b} =\frac{b}{c}=\frac{c}{a} \Leftrightarrow  a=b=c$
Do vậy $\left ( \frac{a}{b}  \right )^ \frac{3}{2}+\left ( \frac{b}{c}  \right )^ \frac{3}{2}+\left ( \frac{c}{a}  \right )^ \frac{3}{2} \geq \frac{a}{b} +\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$ (đpcm)     

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi