Đề bài: Cho $x,y,z$ là ba số dương và $\frac{1}{3^x}+\frac{1}{3^y}+\frac{1}{3^z}=1$. Chứng minh rằng:$\frac{9^x}{3^x+3^{y+z}}+\frac{9^y}{3^y+3^{x+z}}+\frac{9^z}{3^z+3^{x+y}}\geq \frac{3^x+3^y+3^z}{4}$.

Lời giải

Đề bài:
Cho $x,y,z$ là ba số dương và $\frac{1}{3^x}+\frac{1}{3^y}+\frac{1}{3^z}=1$. Chứng minh rằng:$\frac{9^x}{3^x+3^{y+z}}+\frac{9^y}{3^y+3^{x+z}}+\frac{9^z}{3^z+3^{x+y}}\geq \frac{3^x+3^y+3^z}{4}$.
Lời giải

Đặt $a=3^x; b=3^y; c=3^z\Rightarrow a,b,c>0$.
Từ giả thiết ta có: $3^{x+y}+3^{y+z}+3^{z+x}=3^{xyz}\Leftrightarrow ab+bc+ca=abc (1)$

Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh có dạng tương đương:
$\frac{a^2}{a+bc}+\frac{b^2}{b+ca}+\frac{c^2}{c+ab}\geq \frac{a+b+c}{4}\\\Leftrightarrow \frac{a^3}{a^2+abc}+\frac{b^3}{b^2+abc}+\frac{c^3}{c^2+abc}\geq \frac{a+b+c}{4}$
$\Leftrightarrow \frac{a^3}{(a+b)(a+c)}+\frac{b^3}{(b+c)(b+a)}+\frac{c^3}{(c+a)(c+b)}\geq \frac{a+b+c}{4}   (2)$ do $(1)$.

Theo bất đẳng thức Côsi ta có:
$\begin{cases}\frac{a^3}{(a+b)(a+c)}+\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}\geq \frac{3a}{4}   (3)  \\ \frac{b^3}{(b+a)(b+c)}+\frac{b+c}{8}+\frac{b+a}{8}\geq \frac{3b}{4}  (4) \\ \frac{c^3}{(c+a)(c+b)}+\frac{c+a}{8}+\frac{c+b}{8}\geq \frac{3c}{4}   (5) \end{cases}$
Cộng từng vế của  $(3),(4),(5)\Rightarrow (2)$ đúng $\Rightarrow $ đpcm.
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=3 \Leftrightarrow x=y=z=1$.

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi