• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Quốc gia Môn Toán
  • Trắc nghiệm toán 12
  • Máy tính

Đề bài: Cho các số thực $a \geq 0, b \geq 0, c \geq 2$ thỏa mãn và $ab+2(a+b) \geq 5     (1)$Chứng minh $Q=a^4+4a^2+6b^2+\frac{91}{32}c^2+\frac{32}{27}c+\frac{27}{c^4} \geq \frac{11419}{432}$   

Đăng ngày: 11/07/2021 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức Côsi

Đề bài: Cho các số thực $a \geq 0, b \geq 0, c \geq 2$ thỏa mãn và $ab+2(a+b) \geq 5     (1)$Chứng minh $Q=a^4+4a^2+6b^2+\frac{91}{32}c^2+\frac{32}{27}c+\frac{27}{c^4} \geq \frac{11419}{432}$   

Bat dang thuc

Lời giải

Đề bài:
Cho các số thực $a \geq 0, b \geq 0, c \geq 2$ thỏa mãn và $ab+2(a+b) \geq 5     (1)$Chứng minh $Q=a^4+4a^2+6b^2+\frac{91}{32}c^2+\frac{32}{27}c+\frac{27}{c^4} \geq \frac{11419}{432}$   
Lời giải

Ta có: $4a^2+c^2 \geq 4ac, 4b^2+c^2 \geq 4bc, 2(a^2+b^2) \geq 4ab  $

Suy ra $6a^2+6b^2+2c^2 \geq 4(ab+ac+bc)=4[ab+c(a+b)]                         (2)$

Do $(1)$ suy ra $4[ab+c(a+b)] \geq 4[ab+2(a+b)] \geq 20                          (3)$
* Từ $(2),(3)$ suy ra $6a^2+6b^2+2c^2 \geq 20                                            (4)$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l} 2a=2b=c=2\\ ab+2(a+b)=5 \end{array} \right.  \Leftrightarrow  \left\{ \begin{array}{l} a=b=1\\ c=2 \end{array} \right. $
* Lại có $\frac{27}{32}c^2+\frac{27}{c^4}=27(\frac{c^2}{64}+\frac{c^2}{64}+\frac{1}{c^4}) \geq 27.3 \sqrt[3]{\frac{c^2}{64}.\frac{c^2}{64}.\frac{1}{c^4}}=\frac{81}{16}     (5)$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\frac{c^2}{64}=\frac{1}{c^4} \Leftrightarrow  c=2$
* Lại có $(a^2-1)^2 \geq 0 \Leftrightarrow  a^4-2a^2 \geq -1$. Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi $a=1    (6)$
* Từ $(1),(4),(5)$ và $(6)$ suy ra $Q \geq 20+\frac{81}{16}+\frac{2.32}{27}-1=\frac{11419}{432}$

Vậy $Q \geq \frac{11419}{432}$ dấu đẳng thức có khi và chỉ khi $a=b=1, c=2$            

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi

Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức Côsi

Bài liên quan:

  1. Đề bài:  Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $x^2+y^2+z^2 \leq 1$Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $Q=xy+yz+2zx$
  2. Đề bài: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:  \(f(x)=x+\frac{3}{x}\) với \(x>0\)
  3. Đề bài: Cho $a, b, c$ là $3$ số dương. Chứng minh:a)     $\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\geq 6                               (1)$b)     $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}                             (2)$
  4. Đề bài: Chứng minh rằng với mọi m,n,p dương ta có:$m^3+n^3+p^3-m^2n-mn^2-n^2p-np^2-p^2m-pm^2+3mnp\geq 0$
  5. Đề bài: Cho $\Delta ABC$ có cạnh $a,b,c$. Chứng minh rằng:   $\frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{a+c-b}+\frac{c^2}{a+b-c}\geq a+b+c$
  6. Đề bài: Cho $n \in Z,n \geq 2$.Chứng minh rằng:$C^{0}_{n}.C^{1}_{n}…C^{n}_{n} \leq (\frac{2^{n}-2}{n-1})^{n-1}$
  7. Đề bài: Cho $a,b,c \in [\frac{1}{2},2]$.Chứng minh rằng:$\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\leq \frac{225}{16}$
  8. Đề bài: Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $xy+yz+zx=15$Tìm các giá trị nhỏ nhất của $Q=x^4+y^4+z^4$
  9. Đề bài: Cho \(2\) số dương \(a\) và \(b\). Chứng minh rằng:  \((a+b)(ab+1)\geq 4ab\)
  10. Đề bài: Cho $A(1;0;0), B(1;1;0), C(0;1;0), D(0;0;m)$ với $m$ là tham số khác )a) Tính khoảng cách giữa $AC$ và $BD$ khi $m=2$b) Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên $BD$. Tìm các giá trị của tham số $m$ để diện tích $\Delta OBH$ đạt giá trị lớn nhất
  11. Đề bài: Chứng minh rằng nếu m,n,p nguyên dương thì :$m^{\frac{m}{m+n+p}}.n^{\frac{n}{m+n+p}}.p^{\frac{p}{m+n+p}}\geq \frac{1}{3}(m+n+p)$
  12. Đề bài: Cho ba số dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:      $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$.
  13. Đề bài: Cho $a,b,c>0$.Hãy chứng minh:$a^{3}+b^{3}+c^{3} \geq a^{2}\sqrt{bc}+b^{2}\sqrt{ca}+c^{2}\sqrt{ab}$
  14. Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số thức không âm $a,b$ ta luôn có:    $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$
  15. Đề bài: Cho $a,b,c$  dương thay đổi. Chứng minh:     $\left ( \frac{a}{b}  \right )^ \frac{3}{2}+\left ( \frac{b}{c}  \right )^ \frac{3}{2} +\left ( \frac{c}{a}  \right )^ \frac{3}{2} \geq  \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}   $

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC




Booktoan.com (2015 - 2022) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.