Đề bài: Cho các số thực $a \geq 0, b \geq 0, c \geq 2$ thỏa mãn và $ab+2(a+b) \geq 5     (1)$Chứng minh $Q=a^4+4a^2+6b^2+\frac{91}{32}c^2+\frac{32}{27}c+\frac{27}{c^4} \geq \frac{11419}{432}$   

Lời giải

Đề bài:
Cho các số thực $a \geq 0, b \geq 0, c \geq 2$ thỏa mãn và $ab+2(a+b) \geq 5     (1)$Chứng minh $Q=a^4+4a^2+6b^2+\frac{91}{32}c^2+\frac{32}{27}c+\frac{27}{c^4} \geq \frac{11419}{432}$   
Lời giải

Ta có: $4a^2+c^2 \geq 4ac, 4b^2+c^2 \geq 4bc, 2(a^2+b^2) \geq 4ab  $

Suy ra $6a^2+6b^2+2c^2 \geq 4(ab+ac+bc)=4[ab+c(a+b)]                         (2)$

Do $(1)$ suy ra $4[ab+c(a+b)] \geq 4[ab+2(a+b)] \geq 20                          (3)$
* Từ $(2),(3)$ suy ra $6a^2+6b^2+2c^2 \geq 20                                            (4)$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l} 2a=2b=c=2\\ ab+2(a+b)=5 \end{array} \right.  \Leftrightarrow  \left\{ \begin{array}{l} a=b=1\\ c=2 \end{array} \right. $
* Lại có $\frac{27}{32}c^2+\frac{27}{c^4}=27(\frac{c^2}{64}+\frac{c^2}{64}+\frac{1}{c^4}) \geq 27.3 \sqrt[3]{\frac{c^2}{64}.\frac{c^2}{64}.\frac{1}{c^4}}=\frac{81}{16}     (5)$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\frac{c^2}{64}=\frac{1}{c^4} \Leftrightarrow  c=2$
* Lại có $(a^2-1)^2 \geq 0 \Leftrightarrow  a^4-2a^2 \geq -1$. Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi $a=1    (6)$
* Từ $(1),(4),(5)$ và $(6)$ suy ra $Q \geq 20+\frac{81}{16}+\frac{2.32}{27}-1=\frac{11419}{432}$

Vậy $Q \geq \frac{11419}{432}$ dấu đẳng thức có khi và chỉ khi $a=b=1, c=2$            

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi