Đề bài: Chứng minh với mọi $a  ,b$  mà  $a+b=1$  thì  $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1} \geq \frac{4}{3}.   $

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh với mọi $a  ,b$  mà  $a+b=1$  thì  $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1} \geq \frac{4}{3}.   $
Lời giải

Áp dụng bất đẳng thưc Cauchy cho hai số không âm, ta có:
$\left ( \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}   \right )(a+1+b+1) \ge 2\sqrt{\frac{1}{a+1}.\frac{1}{b+1}} .2\sqrt{(a+1)(b+1)}=4.\sqrt{\frac{1}{(a+1)(b+1)}.(a+1)(b+1)} $
$\Rightarrow    3.\left ( \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}   \right )\geq 4 \Rightarrow \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1} \ge \frac{4}{3}$    (đpcm).

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi