Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

Bất đẳng thức - Bài tập tự luận

Cho \(x,y,z\) là các số thực thay đổi, đôi một khác nhau thuộc đoạn \(\left[ {0;2} \right]\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{{{{\left( {x – y} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {y – z} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {z – x} \right)}^2}}}\).

Đăng ngày: Biên tập: Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:

Cho \(x,y,z\) là các số thực thay đổi, đôi một khác nhau thuộc đoạn \(\left[ {0;2} \right]\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {y - z} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {z - x} \right)}^2}}}\). Lời giải Không mất tính tổng quát, giả sử \(0 \le x < y < z \le 2\). Áp dụng BĐT Cauchy AM-GM ta … [Đọc thêm...] vềCho \(x,y,z\) là các số thực thay đổi, đôi một khác nhau thuộc đoạn \(\left[ {0;2} \right]\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{{{{\left( {x – y} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {y – z} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {z – x} \right)}^2}}}\).

Cho \(1 \ne a > 0\), chứng minh rằng: \(\frac{{\ln a}}{{a – 1}} \le \frac{{1 + \sqrt[3]{a}}}{{a + \sqrt[3]{a}}}\)

Đăng ngày: Biên tập: Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:,

Cho \(1 \ne a > 0\), chứng minh rằng: \(\frac{{\ln a}}{{a - 1}} \le \frac{{1 + \sqrt[3]{a}}}{{a + \sqrt[3]{a}}}\). Lời giải Ta phải chứng minh \(\frac{{\ln a}}{{a - 1}} \le \frac{{1 + \sqrt[3]{a}}}{{a + \sqrt[3]{a}}}\) (1) với \(1 \ne a > 0\). Xét hai trường hợp: +) Trường hợp 1: \(a > 1\) \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {a + \sqrt[3]{a}} … [Đọc thêm...] vềCho \(1 \ne a > 0\), chứng minh rằng: \(\frac{{\ln a}}{{a – 1}} \le \frac{{1 + \sqrt[3]{a}}}{{a + \sqrt[3]{a}}}\)

Đề bài:  Biết rằng:  $3x^2+4xy+3y^2=14.$ Chứng minh $\frac{14}{5} \leq x^2+y^2 \leq 14$

Đăng ngày: Biên tập: Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:

Đề bài:  Biết rằng:  $3x^2+4xy+3y^2=14.$ Chứng minh $\frac{14}{5} \leq x^2+y^2 \leq 14$ Lời giải Đặt $Q=x^2+y^2$$\bullet$ Để ý: $14-Q=2(x+y)^2 \geq 0 \Leftrightarrow Q \leq 14$.Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi:$\left\{ \begin{array}{l} x+y=0\\ 3x^2+4xy+3y^2=14 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=-y\\ x^2=7 \end{array} \right. … [Đọc thêm...] vềĐề bài:  Biết rằng:  $3x^2+4xy+3y^2=14.$ Chứng minh $\frac{14}{5} \leq x^2+y^2 \leq 14$

Đề bài: Các số $a,b,c,d$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng nếu lấy số $m$ sao cho $2m \ge|ad-bc|$, thì ta có với mọi $x$:  $(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+ {m^2} \ge 0$

Đăng ngày: Biên tập: Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:

Đề bài: Các số $a,b,c,d$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng nếu lấy số $m$ sao cho $2m \ge|ad-bc|$, thì ta có với mọi $x$:  $(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+ {m^2} \ge 0$ Lời giải Gọi $k > 0$ là cộng sai của cấp số cộng, ta có $b = a + k,c = a + 2k,d = a + 3k$ và điều kiện $2m \ge \left| {a{\rm{d  -  bc}}} \right| = \left| {a\left( {a + 3k} \right) - … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Các số $a,b,c,d$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng nếu lấy số $m$ sao cho $2m \ge|ad-bc|$, thì ta có với mọi $x$:  $(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+ {m^2} \ge 0$

Đề bài: Cho $a,b,c \geq 1.$Hãy chứng minh:$1/\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}$$2/\frac{1}{1+a^{3}}+\frac{1}{1+b^{3}}+\frac{1}{1+c^{3}}\geq \frac{3}{1+abc} $(Đây là dạng bất đẳng thức JenSen)

Đăng ngày: Biên tập: Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:

Đề bài: Cho $a,b,c \geq 1.$Hãy chứng minh:$1/\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}$$2/\frac{1}{1+a^{3}}+\frac{1}{1+b^{3}}+\frac{1}{1+c^{3}}\geq \frac{3}{1+abc} $(Đây là dạng bất đẳng thức JenSen) Lời giải $1/$ Bài toán $\Leftrightarrow \left ( 2+a^{2}+b^{2} \right )\left ( 1+ab \right )\geq 2\left ( 1+a^{2} \right )\left ( 1+b^{2} \right … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $a,b,c \geq 1.$Hãy chứng minh:$1/\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}$$2/\frac{1}{1+a^{3}}+\frac{1}{1+b^{3}}+\frac{1}{1+c^{3}}\geq \frac{3}{1+abc} $(Đây là dạng bất đẳng thức JenSen)

Đề bài: Cho $a,b,c$  dương thay đổi. Chứng minh:     $\left ( \frac{a}{b}  \right )^ \frac{3}{2}+\left ( \frac{b}{c}  \right )^ \frac{3}{2} +\left ( \frac{c}{a}  \right )^ \frac{3}{2} \geq  \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}   $

Đăng ngày: Biên tập: Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:

Đề bài: Cho $a,b,c$  dương thay đổi. Chứng minh:     $\left ( \frac{a}{b}  \right )^ \frac{3}{2}+\left ( \frac{b}{c}  \right )^ \frac{3}{2} +\left ( \frac{c}{a}  \right )^ \frac{3}{2} \geq  \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}   $ Lời giải Đề bài: Cho $a,b,c$  dương thay đổi. Chứng minh:     $\left ( \frac{a}{b}  \right )^ \frac{3}{2}+\left ( \frac{b}{c}  \right … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $a,b,c$  dương thay đổi. Chứng minh:     $\left ( \frac{a}{b}  \right )^ \frac{3}{2}+\left ( \frac{b}{c}  \right )^ \frac{3}{2} +\left ( \frac{c}{a}  \right )^ \frac{3}{2} \geq  \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}   $

Đề bài: Cho \(2\) số dương \(a\) và \(b\). Chứng minh rằng:  \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2\)

Đăng ngày: Biên tập: Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:

Đề bài: Cho \(2\) số dương \(a\) và \(b\). Chứng minh rằng:  \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2\) Lời giải Đề bài: Cho \(2\) số dương \(a\) và \(b\). Chứng minh rằng:  \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2\) Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho \(2\) số dương \(\frac{a}{b}\) và \(\frac{b}{a}\) ta có:  … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho \(2\) số dương \(a\) và \(b\). Chứng minh rằng:  \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2\)

Đề bài: Cho hình lăng trụ đứng $ABC,A'B'C'$ biết $A(a;0;0), B(-a;0;0), C(0;1;0), B'(-a;0;b)$ với $a,b>0$a) Tính khoảng cách $d$ của hai đường thẳng $B'C$ và $AC'$b) Cho $a, b$ thay đổi mà $a+b=4$. Tìm $a,b$ để $d$ đạt giá trị lớn nhất

Đăng ngày: Biên tập: Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:

Đề bài: Cho hình lăng trụ đứng $ABC,A'B'C'$ biết $A(a;0;0), B(-a;0;0), C(0;1;0), B'(-a;0;b)$ với $a,b>0$a) Tính khoảng cách $d$ của hai đường thẳng $B'C$ và $AC'$b) Cho $a, b$ thay đổi mà $a+b=4$. Tìm $a,b$ để $d$ đạt giá trị lớn nhất Lời giải Đề bài: Cho hình lăng trụ đứng $ABC,A'B'C'$ biết $A(a;0;0), B(-a;0;0), … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho hình lăng trụ đứng $ABC,A'B'C'$ biết $A(a;0;0), B(-a;0;0), C(0;1;0), B'(-a;0;b)$ với $a,b>0$a) Tính khoảng cách $d$ của hai đường thẳng $B'C$ và $AC'$b) Cho $a, b$ thay đổi mà $a+b=4$. Tìm $a,b$ để $d$ đạt giá trị lớn nhất

Đề bài: Cho $n,m\in N$ và $   n,m\geq 1$. chứng minh rằng:   $\sin^m x.\cos^nx\leq \sqrt{\frac{m^mn^n}{(n+m)^{n+m}}}$

Đăng ngày: Biên tập: Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:

Đề bài: Cho $n,m\in N$ và $   n,m\geq 1$. chứng minh rằng:   $\sin^m x.\cos^nx\leq \sqrt{\frac{m^mn^n}{(n+m)^{n+m}}}$ Lời giải Đề bài: Cho $n,m\in N$ và $   n,m\geq 1$. chứng minh rằng:   $\sin^m x.\cos^nx\leq \sqrt{\frac{m^mn^n}{(n+m)^{n+m}}}$ Lời giải Đặt $A=VT$ của bất đẳng thức cần chứng minh, ta … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $n,m\in N$ và $   n,m\geq 1$. chứng minh rằng:   $\sin^m x.\cos^nx\leq \sqrt{\frac{m^mn^n}{(n+m)^{n+m}}}$

Đề bài: Với $a,b,c>0$ chứng minh rằng:     $\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{a+b+c}{2abc}$.

Đăng ngày: Biên tập: Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:

Đề bài: Với $a,b,c>0$ chứng minh rằng:     $\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{a+b+c}{2abc}$. Lời giải Đề bài: Với $a,b,c>0$ chứng minh rằng:     $\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{a+b+c}{2abc}$. Lời giải Ta lần lượt có:       … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Với $a,b,c>0$ chứng minh rằng:     $\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{a+b+c}{2abc}$.