Bất đẳngThức Tuyển Chọn.pdf ========== booktoan.com chia sẻ đến các ĐỀ THI HK2 MÔN TOÁN năm học 2022 – 2023. TÀI LIỆU, Đề THI ĐỀU có đáp án chi tiết giúp các em đối chiếu, tham khảo để đánh giá năng lực bản thân. Chúc các em thành công và đạt kết quả cao trong […]
Bất đẳng thức - Bài tập tự luận
Cho \(x,y,z\) là các số thực thay đổi, đôi một khác nhau thuộc đoạn \(\left[ {0;2} \right]\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{{{{\left( {x – y} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {y – z} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {z – x} \right)}^2}}}\).
Cho \(x,y,z\) là các số thực thay đổi, đôi một khác nhau thuộc đoạn \(\left[ {0;2} \right]\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{{{{\left( {x – y} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {y – z} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {z – x} \right)}^2}}}\). Lời giải Không mất tính tổng quát, giả sử \(0 \le […]
Cho \(1 \ne a > 0\), chứng minh rằng: \(\frac{{\ln a}}{{a – 1}} \le \frac{{1 + \sqrt[3]{a}}}{{a + \sqrt[3]{a}}}\)
Cho \(1 \ne a > 0\), chứng minh rằng: \(\frac{{\ln a}}{{a – 1}} \le \frac{{1 + \sqrt[3]{a}}}{{a + \sqrt[3]{a}}}\). Lời giải Ta phải chứng minh \(\frac{{\ln a}}{{a – 1}} \le \frac{{1 + \sqrt[3]{a}}}{{a + \sqrt[3]{a}}}\) (1) với \(1 \ne a > 0\). Xét hai trường hợp: +) Trường hợp 1: \(a > 1\) \(\left( 1 […]
Đề bài: Giả sử $x,y$ liên hệ với nhau bởi hệ thức $3x^2+4xy+3y^2=14$. Chứng minh $\frac{14}{5} \leq x,y \leq 14$
Đề bài: Giả sử $x,y$ liên hệ với nhau bởi hệ thức $3x^2+4xy+3y^2=14$. Chứng minh $\frac{14}{5} \leq x,y \leq 14$ Lời giải Từ giả thiết bài toán suy ra $x,y$ không đồng thời bằng $0$. Gọi $Q(x,y)=x^2+y^2$Trường hợp $1: x=0$ hoặc $y=0$ dễ dàng suy ra $Q=\frac{14}{3} (1)$Trường hợp $2: xy \neq 0$, đặt $y=x.t, […]
Đề bài: Chứng minh rằng với 3 số dương $a,b,c$ bất kì, ta luôn có: $\frac{{{a^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} + \frac{{{b^3}}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \frac{{{c^3}}}{{{c^2} + ca + {a^2}}} \ge \frac{{a + b + c}}{3}$
Đề bài: Chứng minh rằng với 3 số dương $a,b,c$ bất kì, ta luôn có: $\frac{{{a^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} + \frac{{{b^3}}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \frac{{{c^3}}}{{{c^2} + ca + {a^2}}} \ge \frac{{a + b + c}}{3}$ Lời giải Ta có:$\frac{{{a^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} \ge \frac{{2{\rm{a – b}}}}{{\rm{3}}}\Leftrightarrow 3a^3\ge a(a^2+ab+b^2)+a^3-b^3\Leftrightarrow a^3+b^3\ge a^2b+b^2a$ (đúng) […]
Đề bài: Dùng bất đẳng thức Cô-si, tìm GTNN:a)$y=x+\frac{3}{x}; (x>0) $ b) GTNN $y=x+\frac{2}{x-3}; (x>3) $c) $y=5^{x+1}+5^{x-2} $ d) $y=\frac{2 x^{2}+3x+7 }{x} . (x>0)$
Đề bài: Dùng bất đẳng thức Cô-si, tìm GTNN:a)$y=x+\frac{3}{x}; (x>0) $ b) GTNN $y=x+\frac{2}{x-3}; (x>3) $c) $y=5^{x+1}+5^{x-2} $ d) $y=\frac{2 x^{2}+3x+7 }{x} . (x>0)$ Lời giải Đề bài: Dùng bất đẳng thức Cô-si, tìm GTNN:a)$y=x+\frac{3}{x}; (x>0) $ […]
Đề bài: Cho $x,y,z>0; xyz=1$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P=\frac{1}{x^2+2y^2+3}+\frac{1}{y^2+2z^2+3}+\frac{1}{z^2+2x^2+3}$.
Đề bài: Cho $x,y,z>0; xyz=1$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P=\frac{1}{x^2+2y^2+3}+\frac{1}{y^2+2z^2+3}+\frac{1}{z^2+2x^2+3}$. Lời giải Đề bài: Cho $x,y,z>0; xyz=1$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P=\frac{1}{x^2+2y^2+3}+\frac{1}{y^2+2z^2+3}+\frac{1}{z^2+2x^2+3}$. Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: $\begin{cases}x^2+y^2\geq 2xy \\ y^2+1\geq 2y \end{cases}$Từ đó suy ra: $x^2+2y^2+3\geq 2(xy+y+1)\Rightarrow \frac{1}{x^2+2y^2+3}\leq \frac{1}{2(xy+y+1)} (1)$Lập luận tương tự […]
Đề bài: Cho \(xy=4 (x>0, y>0)\). Tìm giá trị nhỏ nhất của:1) \(x^{2}+y^{2}\)2) \(x^{4}+y^{4}\)3) \((x+1)(4y+3)\)
Đề bài: Cho \(xy=4 (x>0, y>0)\). Tìm giá trị nhỏ nhất của:1) \(x^{2}+y^{2}\)2) \(x^{4}+y^{4}\)3) \((x+1)(4y+3)\) Lời giải Đề bài: Cho \(xy=4 (x>0, y>0)\). Tìm giá trị nhỏ nhất của:1) \(x^{2}+y^{2}\)2) \(x^{4}+y^{4}\)3) \((x+1)(4y+3)\) Lời giải 1) Đặt: \(f(x,y)=x^{2}+y^{2}\geq 2xy=8\)\(\Rightarrow \min f(x,y)=8\) khi \(x=y=2\).2) \(f(x,y)=x^{4}+y^{4}=(x^{2}+y^{2})^{2}-2x^{2}y^{2}\geq (2xy)^{2}-2x^{2}y^{2}=2x^{2}y^{2}=32\)\(\Rightarrow \min f(x,y)=\min (x^{4}+y^{4})=32\) khi $x=y=2$3) \(f(x,y)=(x+1)(4y+3)=4xy+3x+4y+3\)\(=19+3x+4y\geq 19+2\sqrt{12.xy}=19+2\sqrt{4.4.3}=19+8\sqrt{3}\)\(\Rightarrow \min f(x,y)=19+8\sqrt{3}\) khi \(x=\frac{4\sqrt{3}}{3}; […]
Đề bài: $a,b,c$ là $3$ số khác $0$. Chứng minh rằng $\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{c^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{a^2}}} \ge \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$
Đề bài: $a,b,c$ là $3$ số khác $0$. Chứng minh rằng $\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{c^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{a^2}}} \ge \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$ Lời giải Đề bài: $a,b,c$ là $3$ số khác $0$. Chứng minh rằng $\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{c^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{a^2}}} \ge \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$ Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương […]
Đề bài: Chứng minh rằng : $abc(a+b)(b+c)(c+a)\leq \frac{8}{729}$. Trong đó $a,b,c $ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=1$
Đề bài: Chứng minh rằng : $abc(a+b)(b+c)(c+a)\leq \frac{8}{729}$. Trong đó $a,b,c $ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=1$ Lời giải Đề bài: Chứng minh rằng : $abc(a+b)(b+c)(c+a)\leq \frac{8}{729}$. Trong đó $a,b,c $ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=1$ Lời giải Ta có: $ \displaystyle abc(a+b)(b+c)(c+a)\leq (\frac{a+b+c}{3})^3.[\frac{(a+b)+(b+c)+(c+a)}{3}]^3=\frac{1}{27}.\frac{8}{27}=\frac{8}{729}$, đpcm.Dấu đẳng thức xảy […]