Đề bài: Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $xy+yz+zx=15$Tìm các giá trị nhỏ nhất của $Q=x^4+y^4+z^4$

Lời giải

Đề bài:
Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $xy+yz+zx=15$Tìm các giá trị nhỏ nhất của $Q=x^4+y^4+z^4$
Lời giải

Theo Cô-si:  $x^4+y^4+25+25 \geq 4\sqrt[4]{x^4y^425.25}=4.5|xy| \geq 20xy$
$\Leftrightarrow  x^4+y^4+50 \geq 20 xy              (1)$
Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi $\begin{cases}x^4=y^4=25\\ xy \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow  \begin{cases}x=y=\sqrt{5} \\ x=y=-\sqrt{5} \end{cases}$
Tương tự:  $y^4+z^4+50 \geq 20yz       (2)$
        $z^4+x^4+50 \geq 20zx       (3)$
Cộng từng vế các bất đẳng thức $(1),(2)$ và $(3)$ ta có:
$2Q+150 \geq 20(xy+yz+zx) \Rightarrow 2Q+150 \geq 20.15 \Leftrightarrow  Q \geq 300$
Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x=y=z=\sqrt{5}}\\
{x=y=z=-\sqrt{5}}
\end{array}} \right.$
Vậy $\min Q=300$  

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi