Đề bài: Cho $a,b>0, m\in N^*$. Chứng minh rằng:     $(1+\frac{a}{b})^m+(1+\frac{b}{a})^m\geq 2^{m+1}$

Lời giải

Đề bài:
Cho $a,b>0, m\in N^*$. Chứng minh rằng:     $(1+\frac{a}{b})^m+(1+\frac{b}{a})^m\geq 2^{m+1}$
Lời giải

Ta có:
     $
\displaystyle 1+\frac{a}{b}\geq 2\sqrt{\frac{a}{b}}\Leftrightarrow (1+\frac{a}{b})^m\geq 2^m\sqrt{(\frac{a}{b})^m}$,
     $
\displaystyle 1+\frac{b}{a}\geq 2\sqrt{\frac{b}{a}}\Leftrightarrow (1+\frac{b}{a})^m\geq 2^m\sqrt{(\frac{b}{a})^m}$,
Suy ra:
     $
\displaystyle (1+\frac{a}{b})^m+(1+\frac{b}{a})^m\geq 2^m\sqrt{(\frac{a}{b})^m}+ 2^m\sqrt{(\frac{b}{a})^m}$
                                                  $
\displaystyle \geq 2.\sqrt{2^m.\sqrt{(\frac{a}{b})^m}.2^m.\sqrt{(\frac{b}{a})^m}}=2^{m+1}$.
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
    $
\displaystyle \begin{cases}1=\frac{a}{b}=\frac{b}{a} \\ 1=\frac{b}{a} \\(1+\frac{b}{a})^m=(1+\frac{a}{b})^m \end{cases}\Leftrightarrow a=b$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi