Lời giải
Đề bài:
Cho hình lăng trụ đứng $ABC,A'B'C'$ biết $A(a;0;0), B(-a;0;0), C(0;1;0), B'(-a;0;b)$ với $a,b>0$a) Tính khoảng cách $d$ của hai đường thẳng $B'C$ và $AC'$b) Cho $a, b$ thay đổi mà $a+b=4$. Tìm $a,b$ để $d$ đạt giá trị lớn nhất
Lời giải
a) Ta có: $\overrightarrow {OC’} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CC’} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BB’} $
Vậy $C'(0;1;b)$
Ta có: $\overrightarrow{B’C}=(b;1;-b) $ và $\overrightarrow{AC’}=(-a;1;b) $
$\Rightarrow \overrightarrow{B’C}\wedge \overrightarrow{AC’}=(2b;0;2a) $
Mà $\overrightarrow{AC}=(-a;1;0) $
vậy $d = \frac{{|(\overrightarrow {B’C} \wedge \overrightarrow {AC’} )\overrightarrow {AC} |}}{{|\overrightarrow {B’C} \wedge \overrightarrow {AC’} |}} = \frac{{ab}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$
b) Theo bất đẳng thức Cosi: $a^2+b^2\geq 2ab$ và $a+b\geq 2\sqrt{ab} $
nên $d=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2} } \leq \frac{ab}{\sqrt{2ab} }=\frac{1}{\sqrt{2} }\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2\sqrt{2} } =\frac{4}{2\sqrt{2} }=\sqrt{2} $
$\Rightarrow d_{max}=\sqrt{2}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a,b>0\\ a=b\\a+b=4 \end{array} \right. \Leftrightarrow a=b=2$
=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi
Trả lời