Đề bài: Cho hình lăng trụ đứng $ABC,A'B'C'$ biết $A(a;0;0), B(-a;0;0), C(0;1;0), B'(-a;0;b)$ với $a,b>0$a) Tính khoảng cách $d$ của hai đường thẳng $B'C$ và $AC'$b) Cho $a, b$ thay đổi mà $a+b=4$. Tìm $a,b$ để $d$ đạt giá trị lớn nhất

Lời giải

Đề bài:
Cho hình lăng trụ đứng $ABC,A'B'C'$ biết $A(a;0;0), B(-a;0;0), C(0;1;0), B'(-a;0;b)$ với $a,b>0$a) Tính khoảng cách $d$ của hai đường thẳng $B'C$ và $AC'$b) Cho $a, b$ thay đổi mà $a+b=4$. Tìm $a,b$ để $d$ đạt giá trị lớn nhất
Lời giải

a) Ta có:     $\overrightarrow {OC’}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CC’}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BB’} $
Vậy $C'(0;1;b)$
Ta có:    $\overrightarrow{B’C}=(b;1;-b) $ và $\overrightarrow{AC’}=(-a;1;b) $
$\Rightarrow \overrightarrow{B’C}\wedge \overrightarrow{AC’}=(2b;0;2a)  $
Mà $\overrightarrow{AC}=(-a;1;0) $
vậy $d = \frac{{|(\overrightarrow {B’C}  \wedge \overrightarrow {AC’} )\overrightarrow {AC} |}}{{|\overrightarrow {B’C}  \wedge \overrightarrow {AC’} |}} = \frac{{ab}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$

b) Theo bất đẳng thức Cosi: $a^2+b^2\geq  2ab$ và $a+b\geq  2\sqrt{ab} $
nên $d=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2} } \leq  \frac{ab}{\sqrt{2ab} }=\frac{1}{\sqrt{2} }\sqrt{ab}   \leq  \frac{a+b}{2\sqrt{2} } =\frac{4}{2\sqrt{2} }=\sqrt{2}  $
$\Rightarrow  d_{max}=\sqrt{2}\Leftrightarrow  \left\{ \begin{array}{l} a,b>0\\ a=b\\a+b=4 \end{array} \right.  \Leftrightarrow  a=b=2$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi