Đề bài:  Tìm tất cả các giá trị của $x$ để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất:                         \(P = x\left( {1 – x} \right)\left( {x – 3} \right)\left( {4 – x} \right)\)

Lời giải

Đề bài:
 Tìm tất cả các giá trị của $x$ để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất:                         \(P = x\left( {1 – x} \right)\left( {x – 3} \right)\left( {4 – x} \right)\)
Lời giải

\(P = x\left( {1 – x} \right)\left( {x – 3} \right)\left( {4 – x} \right) = x\left( {1 – x} \right)\left( {x – 3} \right)\left( {x – 4} \right) \)
    \(= \left( {{x^2} – 4x} \right)\left( {{x^2} – 4x + 3} \right)= \)\(\left[ {{{\left( {x – 2} \right)}^2} – 4} \right]\left[ {{{\left( {x – 2} \right)}^2} – 1} \right]\)
Đặt \({t =\left( {x – 2} \right)^2} \ge 0\) thì
\(P = \left( {t – 4} \right)\left( {t – 1} \right) = {t^2} – 5t + 4\)
Và \(P’ = 2t – 5\), ta có bảng biến thiên như hình vẽ:

$P$ đạt giá trị nhỏ nhất \( \Leftrightarrow t = \frac{5}{2} \Leftrightarrow {\left( {x – 2} \right)^2} = \frac{5}{2} \Leftrightarrow x = 2 \pm \sqrt {\frac{5}{2}}\)

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi