Đề bài: Cho các số dương $a,b,c,d$ chứng minh rằng:  $\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\leq \sqrt{(a+c)(b+d)}$

Lời giải

Đề bài:
Cho các số dương $a,b,c,d$ chứng minh rằng:  $\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\leq \sqrt{(a+c)(b+d)}$
Lời giải

Biến đổi bất đẳng thức về dạng :
   $
\displaystyle \sqrt{\frac{ab}{(a+c)(b+d)}}+\sqrt{\frac{cd}{(a+c)(b+d)}}\leq 1\Leftrightarrow \sqrt{\frac{a}{a+c}.\frac{b}{b+d}}+\sqrt{\frac{c}{a+c}.\frac{d}{b+d}}\leq 1
$.
 Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta được:
     $
\displaystyle VT\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+d})+\frac{1}{2}(\frac{c}{a+c}+\frac{d}{b+d})$
           $
\displaystyle =\frac{1}{2}(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+d}+\frac{c}{a+c}+\frac{d}{b+d})=\frac{1}{2}(\frac{a+c}{a+c}+\frac{b+d}{b+d})=1$.
 Dấu $”=”$ xảy ra khi :
     $
\displaystyle \begin{cases} \frac{a}{a+c}=\frac{b}{b+d}\\ \frac{c}{a+c}=\frac{d}{b+d} \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}ab+ad=ab+bc \\ bc+cd=ad+cd \end{cases}\Leftrightarrow \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$.

 Cách $2$:
 Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 2 bộ số $(\sqrt{a};\sqrt{c})$ và $(\sqrt{b};\sqrt{d})$ ta có:
$VT=\sqrt{a}\sqrt{b}+\sqrt{c}\sqrt{d} \leq \sqrt{(a+c)(b+d)}$ (đpcm)
Dấu $”=”$ xảy ra khi và chỉ khi: $
\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{d}}\Leftrightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi