Đề bài: Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=\frac{3}{4}$.Chứng minh rằng: $\sqrt[3]{x+3y}+\sqrt[3]{y+3z}+\sqrt[3]{z+3x}\leq 3$.

Lời giải

Đề bài:
Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=\frac{3}{4}$.Chứng minh rằng: $\sqrt[3]{x+3y}+\sqrt[3]{y+3z}+\sqrt[3]{z+3x}\leq 3$.
Lời giải

Bằng cách thêm bớt hằng số và theo bất đẳng thức Côsi ta có:
   $\sqrt[3]{x+3y}=\sqrt[3]{(x+3y).1.1}\leq \frac{x+3y+1+1}{3}=\frac{x+3y+2}{3}  (1)$
   $\sqrt[3]{y+3z}=\sqrt[3]{(y+3z).1.1}\leq \frac{y+3z+1+1}{3}=\frac{y+3z+2}{3}  (2)$
    $\sqrt[3]{z+3x}=\sqrt[3]{(z+3x).1.1}\leq \frac{z+3x+1+1}{3}=\frac{z+3x+2}{3}   (3)$
Cộng từng vế $(1),(2),(3)$ và do $x+y+z=\frac{3}{4}$ suy ra đpcm.
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \begin{cases}x+3y=1 \\ y+3z=1 \\ z+3x=1\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{4}$.

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi