Đề bài: Cho \(xy=4 (x>0, y>0)\). Tìm giá trị nhỏ nhất của:1)    \(x^{2}+y^{2}\)2)    \(x^{4}+y^{4}\)3)    \((x+1)(4y+3)\)

Lời giải

Đề bài:
Cho \(xy=4 (x>0, y>0)\). Tìm giá trị nhỏ nhất của:1)    \(x^{2}+y^{2}\)2)    \(x^{4}+y^{4}\)3)    \((x+1)(4y+3)\)
Lời giải

1)    Đặt: \(f(x,y)=x^{2}+y^{2}\geq 2xy=8\)
\(\Rightarrow \min f(x,y)=8\) khi \(x=y=2\).
2)    \(f(x,y)=x^{4}+y^{4}=(x^{2}+y^{2})^{2}-2x^{2}y^{2}\geq (2xy)^{2}-2x^{2}y^{2}=2x^{2}y^{2}=32\)
\(\Rightarrow \min f(x,y)=\min (x^{4}+y^{4})=32\) khi $x=y=2$
3)    \(f(x,y)=(x+1)(4y+3)=4xy+3x+4y+3\)
\(=19+3x+4y\geq 19+2\sqrt{12.xy}=19+2\sqrt{4.4.3}=19+8\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow \min f(x,y)=19+8\sqrt{3}\) khi \(x=\frac{4\sqrt{3}}{3}; y=\sqrt{3}\).

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi