Lời giải
Đề bài:
$a,b,c$ là $3$ số khác $0$. Chứng minh rằng $\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{c^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{a^2}}} \ge \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
$\left( {\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2}}}} \right) + \left( {\frac{{{b^2}}}{{{c^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2}}}} \right) + \left( {\frac{{{c^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{a^2}}}{{{a^2}}}} \right) + \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{c^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{a^2}}} \ge 2\left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}} \right) + 3$ $(1)$
Ta có $\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2}}} \ge 2\left| {\frac{a}{b}.\frac{b}{b}} \right| = 2\left| {\frac{a}{b}} \right|$
$\frac{{{b^2}}}{{{c^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2}}} \ge 2\left| {\frac{b}{c}.\frac{c}{c}} \right| = 2\left| {\frac{b}{c}} \right|$
$\frac{{{c^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{a^2}}}{{{a^2}}} \ge 2\left| {\frac{c}{a}.\frac{a}{a}} \right| = 2\left| {\frac{c}{a}} \right|$
$\Rightarrow \left( {\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2}}}} \right) + \left( {\frac{{{b^2}}}{{{c^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2}}}} \right) + \left( {\frac{{{c^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{a^2}}}{{{a^2}}}} \right) \ge 2\left( {\left| {\frac{a}{b}} \right| + \left| {\frac{b}{c}} \right| + \left| {\frac{c}{a}} \right|} \right) \ge 2\left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}} \right)$ $(2)$
Mặt khác theo bất đẳng thức Côsi ta có
$\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{c^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{a^2}}} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}.\frac{{{b^2}}}{{{c^2}}}.\frac{{{c^2}}}{{{a^2}}}}} = 3$ $(3)$
Cộng vế với vế $(2)$ và $(3)$ ta được $(1)$ (ĐPCM)
=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi
Trả lời