Đề bài: Chứng minh rằng với mọi m,n,p dương ta có:$m^3+n^3+p^3-m^2n-mn^2-n^2p-np^2-p^2m-pm^2+3mnp\geq 0$

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh rằng với mọi m,n,p dương ta có:$m^3+n^3+p^3-m^2n-mn^2-n^2p-np^2-p^2m-pm^2+3mnp\geq 0$
Lời giải

Bất đẳng thức đã cho có thể viết dưới dạng: $mnp\geq (m+n-p)(n+p-m)(p+m-n)$
Nếu tất cả hạng tử của vế phải đều không âm thì bất đẳng thức này được suy ra từ bất đẳng thức Cô-si : với $x=m+n-p, y=n+p-m, z=p+m-n$, ta có:
$(x+y)(y+z)(z+x)\geq 2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}=8xyz$
Trong khi đó chỉ một trong các hạng tử của vế phải có thể là âm:
Chảng hạn nếu $m\leq n\leq p$ thì $n+p>m, p+m>n$ và trong trường hợp này vế phải là âm, còn vế trái là dương.
Bất đẳng thức đã cho được chứng minh

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi