Đề bài: Cho $A(1;0;0), B(1;1;0), C(0;1;0), D(0;0;m)$ với $m$ là tham số khác )a) Tính khoảng cách giữa $AC$ và $BD$ khi $m=2$b) Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên $BD$. Tìm các giá trị của tham số $m$ để diện tích $\Delta OBH$ đạt giá trị lớn nhất

Lời giải

Đề bài:
Cho $A(1;0;0), B(1;1;0), C(0;1;0), D(0;0;m)$ với $m$ là tham số khác )a) Tính khoảng cách giữa $AC$ và $BD$ khi $m=2$b) Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên $BD$. Tìm các giá trị của tham số $m$ để diện tích $\Delta OBH$ đạt giá trị lớn nhất
Lời giải

a) Khi $m=2$ thì $\overrightarrow{AC}=(-1;1;0); \overrightarrow{AB}=(0;1;0); \overrightarrow{BD}=(-1;-1;2)   $
$\Leftrightarrow  [\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}  ]=(2;2;-2)$
Vậy $d(AC, BD)=\frac{|[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}  ].\overrightarrow{AB} |}{|[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}  ]|} =\frac{|2|}{\sqrt{12} } =\frac{1}{\sqrt{3} } $

b) $\Delta OBD $ vuông tại $O$
$\Rightarrow  OH=\frac{OD.OB}{DB}=\frac{|m|\sqrt{2} }{\sqrt{m^2+2} }  $ và  $HB=\frac{OB^2}{BD} =\frac{2}{\sqrt{m^2+2} } $
Do đó: $S=S_{OHB}=\frac{1}{2}Oh.HB=\frac{|m|\sqrt{2} }{m^2+2}  $
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
${m^2} + 2 \ge 2\sqrt {2{m^2}}  = 2\sqrt 2 |m| \Leftrightarrow \frac{1}{{2\sqrt 2 }} \ge \frac{{|m|}}{{{m^2} + 2}} \Leftrightarrow \frac{1}{2} \ge \frac{{|m|\sqrt 2 }}{{{m^2} + 2}} = S$
Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow  m^2=2\Leftrightarrow  m=\pm \sqrt{2} $
Do đó: $\max S=\frac{1}{2}\Leftrightarrow  m= \pm \sqrt{2}$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi