Đề bài: Với $a,b,c>0$ chứng minh rằng:     $\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{a+b+c}{2abc}$.

Lời giải

Đề bài:
Với $a,b,c>0$ chứng minh rằng:     $\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{a+b+c}{2abc}$.
Lời giải

Ta lần lượt có:   
   $
\displaystyle \frac{1}{a^2+bc}\leq \frac{1}{2\sqrt{a^2bc}}=
\frac{1}{2a\sqrt{bc}}=\frac{\sqrt{bc}}{2abc}\leq \frac{
\displaystyle \frac{1}{2}(b+c)}{2abc}=\frac{b+c}{4abc}       (1)$
    $
\displaystyle \frac{1}{b^2+ac}\leq
\frac{1}{2\sqrt{b^2ac}}=\frac{1}{2b\sqrt{ac}}=\frac{\sqrt{ac}}{2abc}\leq
\frac{
\displaystyle \frac{1}{2}(a+c)}{2abc}=\frac{a+c}{4abc}      (2)$
    $
\displaystyle \frac{1}{c^2+ab}\leq
\frac{1}{2\sqrt{c^2ab}}=\frac{1}{2c\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{ab}}{2abc}\leq
\frac{
\displaystyle \frac{1}{2}(a+b)}{2abc}=\frac{a+b}{4abc}          (3)$
Cộng theo vế các bất đẳng thức $(1),(2),(3)$, ta được  :  
      $
\displaystyle \frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{a+b+c}{2abc}$, đcmp.
Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi