Đề bài: Chứng minh rằng nếu m,n,p nguyên dương thì :$m^{\frac{m}{m+n+p}}.n^{\frac{n}{m+n+p}}.p^{\frac{p}{m+n+p}}\geq \frac{1}{3}(m+n+p)$

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh rằng nếu m,n,p nguyên dương thì :$m^{\frac{m}{m+n+p}}.n^{\frac{n}{m+n+p}}.p^{\frac{p}{m+n+p}}\geq \frac{1}{3}(m+n+p)$
Lời giải

Ta xét bộ số:$m$ số $\frac{1}{m}$, $n$ số $\frac{1}{n}$, $p$ số $\frac{1}{p}$
Trung bình cộng của chúng bằng: $\frac{m.\frac{1}{m}+n.\frac{1}{n}+p.\frac{1}{p}}{m+n+p}=\frac{3}{m+n+p}$;
Trung bình nhân của chúng bằng : $\sqrt[m+n+p]{\frac{1}{m^m}.\frac{1}{n^n}.\frac{1}{p^p}}$
Vậy theo bất đẳng thức Cô-si ta có: $\frac{3}{m+n+p}\geq\sqrt[m+n+p]{\frac{1}{m^m}.\frac{1}{n^n}.\frac{1}{p^p}} $ tức là:
$m^\frac{m}{m+n+p}.n^\frac{n}{m+n+p}.p^\frac{p}{m+n+p}\geq \frac{1}{3}(m+n+p)$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi