Đề bài: Cho $abc\neq 0$.Chứng minh rằng:$(\frac{a}{b})^{2}+(\frac{b}{c})^{2}+(\frac{c}{a})^{2} \geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

Lời giải

Đề bài:
Cho $abc\neq 0$.Chứng minh rằng:$(\frac{a}{b})^{2}+(\frac{b}{c})^{2}+(\frac{c}{a})^{2} \geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$
Lời giải

Theo BĐT Cauchy:
$\frac{a^{2}}{b^{2}}+1\geq 2|\frac{a}{b}| (1)$
$\frac{b^{2}}{c^{2}}+1\geq 2|\frac{b}{c}| (2)$
$\frac{c^{2}}{a^{2}}+1\geq 2|\frac{c}{a}| (3)$
$|\frac{a}{b}| +|\frac{b}{c}|+|\frac{c}{a}| \geq 3 (4)$
Cộng $(1),(2),(3),(4)$ vế với vế,rồi rút gọn:
$\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}} \geq |\frac{a}{b}| +|\frac{b}{c}|+|\frac{c}{a}| \geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$
Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c\neq 0 $
$\Rightarrow $(ĐPCM)

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi