Đề bài: Giả sử $x,y,z > 0$, chứng minh $\frac{1}{x^2+yz} + \frac{1}{y^2 + xz} + \frac{1}{z^2+ xy}\le \frac{x+y+z}{2xyz}        (1)$

Lời giải

Đề bài:
Giả sử $x,y,z > 0$, chứng minh $\frac{1}{x^2+yz} + \frac{1}{y^2 + xz} + \frac{1}{z^2+ xy}\le \frac{x+y+z}{2xyz}        (1)$
Lời giải

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương :
$ x^2 + yz \ge 2\sqrt{x^2yz}=2x\sqrt{yz}$
$ y^2 + xz \ge 2\sqrt{y^2xz}=2y\sqrt{xz}$
$ z^2 + xy \ge 2\sqrt{z^2xy}=2z\sqrt{xy}$
và BĐT quen thuộc  $ \sqrt {yz}  + \sqrt {zx}  + \sqrt {xy} \le x + y + z$
Ta có
 VT (1) $ \le \frac{1}{{2x\sqrt {yz} }} + \frac{1}{{2y\sqrt {zx} }} + \frac{1}{{2z\sqrt {xy} }} = \frac{{\sqrt {yz}  + \sqrt {zx}  + \sqrt {xy} }}{{2xyz}} \le $$  \frac{{x + y + z}}{{2xyz}}$ = VP(1)(đpcm)

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi