• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Toán
  • Trắc nghiệm Toán 12
  • Máy tính

Đề bài: Cho các số thực $x,y,z>0$. Chứng minh rằng:       $16xyz(x+y+z)\leq 3\sqrt[3]{(x+y)^4(y+z)^4(z+x)^4}$.

Đăng ngày: 11/07/2021 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức Côsi

adsense
Đề bài: Cho các số thực $x,y,z>0$. Chứng minh rằng:       $16xyz(x+y+z)\leq 3\sqrt[3]{(x+y)^4(y+z)^4(z+x)^4}$.

Bat dang thuc

Lời giải

Đề bài:
Cho các số thực $x,y,z>0$. Chứng minh rằng:       $16xyz(x+y+z)\leq 3\sqrt[3]{(x+y)^4(y+z)^4(z+x)^4}$.
Lời giải

adsense

Ta có:
    $(x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)xy+yz(x+y+z)+xz^2+zx^2$
Vì $x,y,z>0$ nên áp dụng bất đẳng thức Côsi cho $8$ số dương:
$3$ số $
\displaystyle \frac{1}{3}xy(x+y+z)$, $3$ số $
\displaystyle \frac{1}{3}yz(x+y+z), zx^2$ và $xz^2$, ta được:
    $
\displaystyle (x+y)(y+z)(z+x)\geq 8\sqrt[8]{\frac{(xyz)^6(x+y+z)^6}{3^6}}=8\sqrt[4]{\frac{(xyz)^3(x+y+z)^3}{27}}$
    $\Leftrightarrow 3\sqrt[3]{(x+y)^4(y+z)^4(z+x)^4}\geq 16xyz(x+y+z)$, đpcm.
Dấu $”=”$ xảy ra khi và chỉ khi:
    $
\displaystyle \frac{1}{3}xy(x+y+z)=\frac{1}{3}yz(x+y+z)=zx^2=xz^2\Leftrightarrow x=y=z$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi

Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức Côsi

Bài liên quan:

  1. Đề bài: Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $xy+yz+zx =\frac{9}{4}                  (1)$Tìm $\min Q$, với $Q=x^2+14y^2+10z^2-4\sqrt{2y}$
  2. Đề bài: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:  \(f(x)=x+\frac{1}{x-1}\) với \(x>1\)
  3. Đề bài: Chứng minh:a)   $a+\frac{1}{b(a-b)}\geq 3               \forall a>b>0                       (1)$b)   $a+\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}\geq 3        \forall a>b>0             (2)$
  4. Đề bài: Chứng minh rằng:$(1-\frac{1}{365})(1-\frac{2}{365})…(1-\frac{25}{365})
  5. Đề bài: Chứng minh rằng dãy số $u_n=(1+\frac{1}{n})^n, (n=1,2,…)$là một dãy số tăng, tức là $u_1
  6. Đề bài: Cho $n \in Z,n \geq 2$.Chứng minh rằng:$C^{0}_{n}.C^{1}_{n}…C^{n}_{n} \leq (\frac{2^{n}-2}{n-1})^{n-1}$
  7. Đề bài: Cho $a,b,c \in [\frac{1}{2},2]$.Chứng minh rằng:$\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\leq \frac{225}{16}$
  8. Đề bài:  Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $x^2+y^2+z^2 \leq 1$Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $Q=xy+yz+2zx$
  9. Đề bài: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:  \(f(x)=x+\frac{3}{x}\) với \(x>0\)
  10. Đề bài: Cho $a, b, c$ là $3$ số dương. Chứng minh:a)     $\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\geq 6                               (1)$b)     $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}                             (2)$
  11. Đề bài: Chứng minh rằng với mọi m,n,p dương ta có:$m^3+n^3+p^3-m^2n-mn^2-n^2p-np^2-p^2m-pm^2+3mnp\geq 0$
  12. Đề bài: Cho $\Delta ABC$ có cạnh $a,b,c$. Chứng minh rằng:   $\frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{a+c-b}+\frac{c^2}{a+b-c}\geq a+b+c$
  13. Đề bài: Cho $a,b,c>0$.Hãy chứng minh:$a^{3}+b^{3}+c^{3} \geq a^{2}\sqrt{bc}+b^{2}\sqrt{ca}+c^{2}\sqrt{ab}$
  14. Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số thức không âm $a,b$ ta luôn có:    $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$
  15. Đề bài: Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $xy+yz+zx=15$Tìm các giá trị nhỏ nhất của $Q=x^4+y^4+z^4$

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC




Booktoan.com (2015 - 2023) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.