Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a>b$, ta có:    $a+\frac{1}{b(a-b)}\geq 3$

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a>b$, ta có:    $a+\frac{1}{b(a-b)}\geq 3$
Lời giải

ta có biến đổi:
  $
\displaystyle VT=b+(a-b)+\frac{1}{b(a-b)}\geq 3\sqrt[3]{b(a-b).\frac{1}{b(a-b)}}=3$, đpcm.
Dấu đẳng thức xảy ra khi :
    $
\displaystyle \begin{cases}b=a-b \\ b=\frac{1}{b(a-b)} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a=2b \\ b^2(a-b)=1\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a=2b \\ b^3=1 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=2 \\ b=1 \end{cases}$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi