Đề bài: Cho $n \in Z,n \geq 2$.Chứng minh rằng:$C^{0}_{n}.C^{1}_{n}…C^{n}_{n} \leq (\frac{2^{n}-2}{n-1})^{n-1}$

Lời giải

Đề bài:
Cho $n \in Z,n \geq 2$.Chứng minh rằng:$C^{0}_{n}.C^{1}_{n}…C^{n}_{n} \leq (\frac{2^{n}-2}{n-1})^{n-1}$
Lời giải

Ta có:
$2^{n}=(1+1)^{n}=\sum\limits_{k=0}^n C^{k}_{n}.1^{k}.1^{n-k}=C^{0}_{n}+C^{1}_{n}+…+C^{n}_{n}$
Áp dụng BĐT Cauchy:
$C^{1}_{n}.C^{2}_{n}…C^{n-1}_{n}\leq (\frac{C^{1}_{n}+C^{2}_{n}+…+C^{n-1}_{n}}{n-1})^{n-1}$
$=(\frac{2^{n}-C^{0}_{n}-C^{n}_{n}}{n-1})^{n-1}=(\frac{2^{n}-2}{n-1})^{n-1}$
Vậy:$C^{0}_{n}.C^{1}_{n}…C^{n}_{n} \leq (\frac{2^{n}-2}{n-1})^{n-1}$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi