Đề bài: Chứng minh:a)   $a+\frac{1}{b(a-b)}\geq 3               \forall a>b>0                       (1)$b)   $a+\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}\geq 3        \forall a>b>0             (2)$

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh:a)   $a+\frac{1}{b(a-b)}\geq 3               \forall a>b>0                       (1)$b)   $a+\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}\geq 3        \forall a>b>0             (2)$
Lời giải

a) $a+\frac{1}{b(a-b)}=b+(a-b)+\frac{1}{b(a-b)}\geq 3\sqrt[3]{\frac{b(a-b)}{b(a-b)}}=3$
Do a>b>0 nên 3 số $b;a-b;
\frac{1}{b(a-b)} $ đều dương nên áp dụng được bất đẳng thức Cô-si như trên.
Dấu bằng xảy ra khi $b=a-b=
\frac{1}{b(a-b)} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=2\\ b=1 \end{array} \right.$.

b) $a+\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}=(a-b)+\frac{b+1}{2}+\frac{b+1}{2}+\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}\geq 4\sqrt[4]{\frac{(a-b)(\frac{b+1}{2})^2.4}{(a-b)(b+1)^2}}-1=3$.
Do a>b>0 nên ta có thể áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 4 số dương
$a-b;
\frac{b+1}{2};
\frac{b+1}{2};
\frac{4}{(a-b)(b+1)^2} $
Dấu bằng xảy ra khi $a-b=
\frac{b+1}{2}=\frac{4}{(a-b)(b+1)^2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=2\\ b=1 \end{array} \right.$ .

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi