• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Toán
  • Trắc nghiệm Toán 12
  • Máy tính

Đề bài: Chứng minh:a)   $a+\frac{1}{b(a-b)}\geq 3               \forall a>b>0                       (1)$b)   $a+\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}\geq 3        \forall a>b>0             (2)$

Đăng ngày: 11/07/2021 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức Côsi

adsense
Đề bài: Chứng minh:a)   $a+\frac{1}{b(a-b)}\geq 3               \forall a>b>0                       (1)$b)   $a+\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}\geq 3        \forall a>b>0             (2)$

Bat dang thuc

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh:a)   $a+\frac{1}{b(a-b)}\geq 3               \forall a>b>0                       (1)$b)   $a+\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}\geq 3        \forall a>b>0             (2)$
Lời giải

adsense

a) $a+\frac{1}{b(a-b)}=b+(a-b)+\frac{1}{b(a-b)}\geq 3\sqrt[3]{\frac{b(a-b)}{b(a-b)}}=3$
Do a>b>0 nên 3 số $b;a-b;
\frac{1}{b(a-b)} $ đều dương nên áp dụng được bất đẳng thức Cô-si như trên.
Dấu bằng xảy ra khi $b=a-b=
\frac{1}{b(a-b)} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=2\\ b=1 \end{array} \right.$.

b) $a+\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}=(a-b)+\frac{b+1}{2}+\frac{b+1}{2}+\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}\geq 4\sqrt[4]{\frac{(a-b)(\frac{b+1}{2})^2.4}{(a-b)(b+1)^2}}-1=3$.
Do a>b>0 nên ta có thể áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 4 số dương
$a-b;
\frac{b+1}{2};
\frac{b+1}{2};
\frac{4}{(a-b)(b+1)^2} $
Dấu bằng xảy ra khi $a-b=
\frac{b+1}{2}=\frac{4}{(a-b)(b+1)^2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=2\\ b=1 \end{array} \right.$ .

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi

Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức Côsi

Bài liên quan:

  1. Đề bài: Cho $a,b,c$  dương thay đổi. Chứng minh:     $\left ( \frac{a}{b}  \right )^ \frac{3}{2}+\left ( \frac{b}{c}  \right )^ \frac{3}{2} +\left ( \frac{c}{a}  \right )^ \frac{3}{2} \geq  \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}   $
  2. Đề bài: Cho \(2\) số dương \(a\) và \(b\). Chứng minh rằng:  \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2\)
  3. Đề bài: $a,b,c$ là $3$ số khác $0$. Chứng minh rằng $\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{c^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{a^2}}} \ge \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$
  4. Đề bài: Chứng minh rằng : $abc(a+b)(b+c)(c+a)\leq \frac{8}{729}$. Trong đó $a,b,c $ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=1$
  5. Đề bài: Với $a,b,c>0$ và $a+b+c\leq 1$ chứng minh rằng:     $\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\geq 9$.
  6. Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất của:$y=\sin^{2} x.\cos ^{6}x$
  7. Đề bài: Chứng minh rằng với mọi $x, y$ dương ta có:  \({x^2} + {y^2} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge 2\left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)\)
  8. Đề bài: Dùng bất đẳng thức Cô-si, tìm GTNN:a)$y=x+\frac{3}{x}; (x>0) $                                               b) GTNN $y=x+\frac{2}{x-3}; (x>3) $c) $y=5^{x+1}+5^{x-2} $                                                d) $y=\frac{2 x^{2}+3x+7 }{x} . (x>0)$
  9. Đề bài: Cho $x,y,z>0;  xyz=1$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P=\frac{1}{x^2+2y^2+3}+\frac{1}{y^2+2z^2+3}+\frac{1}{z^2+2x^2+3}$.
  10. Đề bài: Cho \(xy=4 (x>0, y>0)\). Tìm giá trị nhỏ nhất của:1)    \(x^{2}+y^{2}\)2)    \(x^{4}+y^{4}\)3)    \((x+1)(4y+3)\)
  11. Đề bài: Phân tích số $16$ thành tổng của $2$ số dương sao cho tổng bình phương của chúng là nhỏ nhất.
  12. Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số thực $a,b$ thỏa mãn $a\geq \frac{1}{2}, a>b$.  Ta có: $\frac{2a^3+1}{4b(a-b)}\geq 3$
  13. Đề bài: Cho $a,b,c,k$ là các số nguyên dương, $k\geq \frac{2}{3}$. Chứng minh rằng:     $(\frac{a}{b+c})^k+(\frac{b}{c+a})^k+(\frac{c}{a+b})^k\geq \frac{3}{2^k}        (1)$
  14. Đề bài: Cho $n\in Z,n\geq 2.$Chứng minh rằng:$\sqrt[n]{1+\frac{\sqrt[n]{n}}{n}}+\sqrt[n]{1-\frac{\sqrt[n]{n}}{n}}
  15. Đề bài: $1.$ Cho hình thang cân $ABCD$ có đáy là $AD, BC$, $\widehat {BAD} = {30^0}$. Biết  $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow {a} ,\overrightarrow {AD}  =\overrightarrow {b} .$Hãy biểu diễn các véctơ $\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CD},\overrightarrow {AC}  ,\overrightarrow {BD} $ theo các véctơ $\overrightarrow {a},\overrightarrow {b}  .$$2.$ Chứng minh rằng $\forall  \in (0;\frac{\pi}{2} )$ đều có$cosx +sinx +tanx+cotx+\frac{1}{sinx }+\frac{1}{cosx } >6$

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC




Booktoan.com (2015 - 2023) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.