Đề bài: Cho $2$  số dương $a,b$ thỏa mãn: $\frac{a}{x}+\frac{b}{y}=1$ với $a,y>0$.Tìm $x,y$ để:$S=x+y$ nhỏ nhất ( tính theo $a,b$)

Lời giải

Đề bài:
Cho $2$  số dương $a,b$ thỏa mãn: $\frac{a}{x}+\frac{b}{y}=1$ với $a,y>0$.Tìm $x,y$ để:$S=x+y$ nhỏ nhất ( tính theo $a,b$)
Lời giải

Ta có: $S=x+y=\left ( \frac{a}{x}+\frac{b}{y} \right )\left ( x+y \right )=a+b+\left ( \frac{ay}{x}+\frac{bx}{y} \right )$
                 $\geq a+b+2\sqrt{\frac{ay}{x}.\frac{bx}{y} }\geq a+b+2\sqrt{ab}=\left ( \sqrt{a} +\sqrt{b}\right )^{2}$
Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow\begin{cases}\frac{x}{\sqrt{a}}=\frac{y}{\sqrt{b}}\\\frac{a}{x}+\frac{b}{y}=1\end{cases}\Rightarrow\frac{\sqrt{a}}{\frac{a}{x}}=\frac{\sqrt{b}}{\frac{b}{y}}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\frac{a}{x}+\frac{b}{y}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$
 $\Leftrightarrow \begin{cases}x=\sqrt{a} \left ( \sqrt{a} +\sqrt{b}\right )\\ y=\sqrt{b} \left ( \sqrt{a} +\sqrt{b}\right )\end{cases}$
Vậy: $Min\left ( S \right )=\left ( \sqrt{a} +\sqrt{b}\right )^{2}$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi