• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Quốc gia Môn Toán
  • Trắc nghiệm toán 12
  • Máy tính

Đề bài: Cho $a,b,c,d>0$.Chứng minh rằng:$\frac{a}{b+2c+3d}+\frac{b}{c+2d+3a}+\frac{c}{d+2a+3b}+\frac{d}{a+2b+3c} \geq \frac{2}{3}$

Đăng ngày: 11/07/2021 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức Côsi

Đề bài: Cho $a,b,c,d>0$.Chứng minh rằng:$\frac{a}{b+2c+3d}+\frac{b}{c+2d+3a}+\frac{c}{d+2a+3b}+\frac{d}{a+2b+3c} \geq \frac{2}{3}$

Bat dang thuc

Lời giải

Đề bài:
Cho $a,b,c,d>0$.Chứng minh rằng:$\frac{a}{b+2c+3d}+\frac{b}{c+2d+3a}+\frac{c}{d+2a+3b}+\frac{d}{a+2b+3c} \geq \frac{2}{3}$
Lời giải

Đặt:
$\begin{cases}6x=b+2c+3d >0\\ 6y= c+2d+3a >0\\ 6z=d+2a+3b>0 \\ 6t=a+2b+3c>0\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}4a=-5x+7y+z+t \\ 4b=x-5y+7z
+t\\ 4c=x+y-5z+7t\\ 4d=7x+y+z-5t\end{cases}$
Theo BĐT Cauchy:
$4(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}+\frac{d}{t})=\frac{-5x+7y+z+t}{x}+\frac{x-5y+7z
+t}{y}+\frac{x+y-5z+7t}{z}+\frac{7x+y+z-5t}{t}$
$=-20+7(\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{t}{z}+\frac{x}{t})+(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})+(\frac{y}{t}+\frac{t}{y})+(\frac{t}{x}+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{t})$
$\geq -20+7.4+2+2+4=16$
$\Rightarrow \frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}+\frac{d}{t}\geq 4$
$\Rightarrow \frac{a}{6x}+\frac{b}{6y}+\frac{c}{6z}+\frac{d}{6t}\geq \frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=t \Leftrightarrow a=b=c=d$
$\Rightarrow $ (ĐPCM)

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi

Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức Côsi

Bài liên quan:

  1. Đề bài: Cho $a,b,c\in R$.Chứng minh $\frac{|a-c|}{\sqrt{1+a^2}\sqrt{1+c^2}}\leq \frac{|a-b|}{\sqrt{1+a^2}\sqrt{1+b^2}}+\frac{|b-c|}{\sqrt{1+b^2}\sqrt{1+c^2}}$.
  2. Đề bài: Cho \(a,b,c>0\). Chứng minh rằng:  \(\frac{a+b}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b+c}{b^{2}+c^{2}}+\frac{a+c}{a^{2}+c^{2}}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
  3. Đề bài: Cho $\Delta ABC$, diện tích bằng $S$, các đường cao $h_a, h_b, h_c$. Chứng minh rằng $\Delta ABC$ đều khi và chỉ khi:  $S=\frac{1}{6}(a.h_b+b.h_c+c.h_a) $
  4. Đề bài: $1.$ Tìm $x, y$ nguyên dương thỏa mãn phương trình: $3x + 5y = 26$.$2.$ Cho $a, b, c > 0$. Chứng minh rằng: $(a + b + c)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 9$
  5. Đề bài: Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:   $ab(a+b-2c)+bc(b+c-2a)+ca(c+a-2b)\geq 0$
  6. Đề bài: Cho $n$ số dương $x_{1},x_{2},…,x_{n}(n \geq 2)$ thỏa mãn: $x_{1}+x_{2}+…+x_{n}=1$Tìm giá trị lớn nhất của S:                       $S=x^{a_{1}}_{1}.x^{a_{2}}_{2}…x^{a_{n}}_{n} $Trong đó: $a_{1},a_{2},…,a_{n}$ là $n$ số dương cho trước.
  7. Đề bài: Cho $a,b>0$ và $a+b=1$.Chứng minh:$\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}}\geq 6$
  8. Đề bài: Cho $x,y,z>0 $ và $\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=1$. Chứng minh rằng:         $S=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\geq \frac{1}{2}$.
  9. Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất của:  \(f(x,y)=(1-x)\sqrt{(x-y+1)(x+y)}        ; ( -x\leq y\leq x+1)\)
  10. Đề bài: Giả sử $x,y,z > 0$, chứng minh $\frac{1}{x^2+yz} + \frac{1}{y^2 + xz} + \frac{1}{z^2+ xy}\le \frac{x+y+z}{2xyz}        (1)$
  11. Đề bài:  Cho $a,b,c$ dương chứng minh$(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)\geq 16abc$
  12. Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a$, ta có:   $2a^3+\frac{3}{a^2}\geq 5$
  13. Đề bài: Chứng minh rằng:$a)(1+x)(1+y)(1+z) \geq (1+\sqrt[3]{xyz})^{3}$ với $\forall x,y,z \geq 0$$b)(1+\frac{1}{\sin \frac{A}{2}})(1+\frac{1}{\sin \frac{B}{2}})(1+\frac{1}{\sin \frac{C}{2}})\geq 27$với $A,B,C$ là $3$ góc của $\triangle ABC$
  14. Đề bài: Cho $a,b,c\geq 0$ và $a+b+c=1$Chứng minh rằng: $a+2b+c\geq 4\left ( 1-a \right )\left ( 1-b \right )\left ( 1-c \right) $
  15. Đề bài: Cho $x,y,z$ là ba số dương và $\frac{1}{3^x}+\frac{1}{3^y}+\frac{1}{3^z}=1$. Chứng minh rằng:$\frac{9^x}{3^x+3^{y+z}}+\frac{9^y}{3^y+3^{x+z}}+\frac{9^z}{3^z+3^{x+y}}\geq \frac{3^x+3^y+3^z}{4}$.

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC




Booktoan.com (2015 - 2022) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.